Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
оболочке тензоры усилий и моментов есть изотропные функции тензоров (В,
gx_1 и ЬА, а конвективные тензоры уСй-
л" го го
лиЙ н моментов являются изотропными функциями тензоров Ь, Gx В*
К г го- ' "
Оболочку, для котррой коэффициенты Ck, dk и c'k, d'k ---произвольные
скалярнозначные изотропные функции указанных выше тензорных аргументов,
будем называть изотропной упругой оболочкой. Для упругой оболочки, в -
отличие от гидерупруТбй, вообще говоря, не существует функции удельной
потенциальной энергии деформации W', т. е. соотношения (4.9.) не имеют
Места.
В работах [9, 46, 51, 55] предложены несколько иные способы вывода
определяющих соотношений оболочек. Определяющие соотношения нелинейно
упругих "оболочек из конкретных, в частности, физически линейных [34]
материалов можно найти в [10, 15,-51, 54, 59].
Уравнения движения (2.23), определяющие соотношения (4.9) и формулы
(2.22), (2.23), (2.36)* главы III, выражающие тензоры Gx, Вх через вектор
перемещения срединной поверхности, ,
ГО гч/
образуют полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение
гиперупругих оболочек. Выразив компоненты усилий и моментов через
компоненты вектора перемещения и подставив в (2.42), придем к системе
трех нелинейных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных
функций гауссовых координат q1, qz и времени 1. При независимости внешних
сил от времени и отбрасывании динамических членов в уравнениях баланса
импульса и момента импульса (2.23) или (2.42) имеем дело со статическими
задачами теории оболочек, когда требуется определить состояние равновесия
оболочки при заданных внешних нагрузках.
В статических- задачах теории оболочек не обязательно рассматривать в
качестве-неизвестных функций компоненты вектора перемещения. Можно
принять в качестве неизвестных компо-. •
4. Зек. 5
ненты тензоров G*. В1, то есть шесть функций Ga$, Ваэ (нлн
fSf /ч/
Иар, Кар)- Уравнениями для них служат три уравнения равнове сия (2.26),
записанные с помощью определяющих уравнений.
(4.13) через компоненты Gap, В ap, н триуравнения совместно* стн
(2.69), (2.70) главы III, представляющие собой соотношений Гаусса -
Кодацци для деформированной срединной поверхности В качестве неизвестных
можно использовать также компонента тензора U' н компоненты вектора
конечного поворота поверхно
л/
.->
ста 0. Уравнениями для этих функций будут уравнения равно;
вёсия, записанные через компоненты тензора U' и вектор "I (здесь нужно
использовать формулу (2.64) главы III и уравне ния совместности i(2.67)
главы III).
Возможны и другие варианты выбора неизвестных.
§ 5. Вариационный принцип Лагранжа й статике гилерупругих оболочек.
Варианты краевых условий
Применим к упругой оболочке вариационный принцип Ла гранжа:
jj W'do-JjF -SPdO - JjT-8NdO -
о О О
- jT-SP dS T-'j'k-S NdS = 0. (5.1
Здесь l и kXN (k-N=0) соответственно интенсивност
распределенных по граничному контуру Г деформированной обо
--
лочкй внешней силы и внешнего момента', F и | - интенсивно ста
распределенных по деформированной срединной поверхности
силы и момента. Функционал JJ. W'do рассматривается ка'
о
функционал над вектором перемещения срединной поверхност
или, что эквивалентно, как функционал над радиусом-вектс ->
ром. Р деформированной поверхности. Левая часть соотношенй
(5.1) состоит "йз вариации потенциальной энергии деформацн оболочки и
элементарной работы внешних сил.
"Г
На основании определяющих соотношений гиперупругой оболочки (4.9) имеем
8 Г f W' do- Г Г VgH ( -l- v* о 8G* _ ^ . 8В*) do -
JJ 'JJ \ 2. (М, Л1 "44 #4/
О о
== ГГ (y V*" 8G* - У* о 8В*) do. (5.2>
О
_ Далее из (2.15), (2.31) главы III получаем
8G*-v'P-(v'8P)t+ v'"4v'Pf, (5.3>
/v ••
8ВХ = - у' 8N • (v' P>T -i'N-iv' 8P)T.
fV у.
С учетом (5.2), (5.3), а также (4.5) вариационное уравнение
(5.1) преобразуется к виду
Я[(у - р-В) - 8Р + у, . у'8N - F-8P -T-8N] dO#-
^ ^ "V "4/ ~
- J (Ь 8Р + к • 8N) dS =* 0. ¦ . (5.4>
г
-> ->
Варьируя соотношение C*N = п, получим
8N = - N:(v/8P)T = -V'(N-8P) -В-8Р. (5.5)
/4/
Пусть граничный контур Г имеет п угловых точек с координатами Sk (k= 1.,
2, ... п) по дуге контура. Предположим, что
на каждом из интервалов (Sk, Sk+i) внешний крутящий момент -*• -> ->
kt = t - k (t - единичный вектор касательной к контуру .Г) и тензор р
являются непрерывно дифференцируемыми функциями
44/
координаты S. Тогда с применением теоремы о дивергенцииjta поверхности,
интегрирования по частям и с использованием формулы (5.5) вместо (5.4)
получим
- ff (v'-v - V'-fa-B) - B-(v'-p) + Nv'-KMv'-f*')] +
jj "4/ "V "44- 444 "V "44 "4/
4* ¦ m
n St _ ^ ^ __
+ У [ (N.8P)[M.(v'-|i) + ^(M-p-t)-l-N + dktldS +
шят с л/ 0э ¦ л*
к^1 sk-l
n f
-f-M-S]dS - | sk+o~ | sk-oi~*t" 1 sk+o+
к-i ~ ~ >;
+ kt | Sk-ol(N ¦ №) I Sk dO = 0. (5.6) .
-> '
Так как вариации 6P на поверхности произвольны, .прихо-; дим к уравнениям
равновесия (2.23). Далее, если граничный кои-"
• тур оболочки свободен от закреплений, то на контуре величины*
