Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
число массовых сил включены и силы инерций. . Запишем условия равновесия
участка V, оболочки, ограниченного поверхностями Z=±H/2 н линейчатой
поверхностью 2,, пересекающейся со срединной поверхностью по
произвольному замкнутому контуру Г.:
Здесь Т - тензор напряжения Коши в оболочке. Эти уравне-
/V ф
ння означают равенство нулю соответственно главного вектора н главного
момента всех сил, приложенных к объему V,. С использованием формул (1.3),
(1.8) нх можно переписать в таком виде:
JjMs.TdE+ JjF+dO + JjF-dO + JJJ pKdV = 0, (2.1)
Е* ~ 0#+ О*- У.
-Т X RdE + JJf+ X (P-F-jn) dO +
E, 0*+
0*+
Q*_
V*
(2.3)
II
H/2
P=
J1/2
= | pAKdZ +'A(y)j/\+y 2-v'HF++
+a(~t)|/ !+tM
A(Z) = det (Q - Z B);
т-т[А(1г)|/>+т'''н-(9-т?Г^!/?+-?-"А(_'?)^1+тг'н-("+т!Г;у'нР-'5] +
H/2
. - ¦ + ( pK GZdZ. (2.6)
-H/2
Механический смысл формул (2.5), (2.6) состоит в том,'что
с их помощью внутри каждого участка оболочки, опирающегося
"> ">
на элемент dO срединной поверхности, система сил F+, F_, рк заменяется
статически эквивалентной ей системой сил и моментов, сосредоточенных На
срединной поверхности с интенсивно-
-> -> -> -> *-> ' 1: i
стями соответственно F и IXN (| • N=0) на единицу площади.
, Сославшись на (1.2), вместо (2.3), (2.4) получим
Jm • (v' -}- V' N) dS -f- j* Г F dO - 0, (2.7)
Г* ~ O*
j M-(/ XP + V'NXP+A N) dS+JJ (FX P +Tx N)dO = 0.
r* . ~ O* (2.8)
Здесь естественным образом введены принадлежащие поверхности О тензор
усилий v', тензор моментов р/ и вектор пере-
-"¦ Л/________________________________________________________________
резывающих сил V':
ад
Н/2
1[ -Н/
(2
A(Z)(0-ZB)-,T-QdZt (2.9)
IV (V "V "V ^
'/2 Н/2
A(Z)(G-ZB)'TQbiZ, (2.10)
/41 /V /V /41
1/2 Н/2
V'=* f ,A(Z) (G - Z В)-1 • Т• NdZ. (2.-1Я)
J Л1 rv Л1
-Н/2
По теореме о дивергенции (1.38) главы III и в силу
произвольности поверхности О* из (2.7), (2.8) придем к
уравнению
равновесия сил
V'.a'+F = 0, o'sv'+V'N (2.12) *
р гч/ < /ч/ /ч/
и уравнению равновесия моментов
V -iff X N) + Р*-°' X P. + Гх N = 0. (2.13)
Л1 /Ч"
Используя (1.17) главы III, последнее уравнение можно переписать так:
у' • (р/ *е) + Д о J -|- t-е = О. (2.14)
Л1 м /V IV! л#
Силовое уравнение равновесия (2.12) преобразуется следу- ,
ющим образом:
у' -f Ny' -V' - V' - В + F = 0, (2Л5)
Л/ Л/
а моментное уравнение равновесия (2.13) распадается на* два: (V'V)-O -
V'+1 = 0, (2.il6) .
Л/ Л/ . Л
? + (ВУ)Т=(*'Т) + ВУ. (-2 Л 7)
IV IV Л1 /VI Л1 IV
Введя в рассмотрение тензор
v - / + (В-р')т, (2.18) *
который симметричен в силу уравнения\|>авновесия (2.17), и исключая из
(2.15), (2.16) вектор V', полупим
v'.v -В-[v* •(!*' +Рт)] - (р' -v')-B +
#4/ Л/ Л/ Л( А/ /V
+ W • [G- (V' У)] + F - В.1 + w •?= 0. (2.19)
"у At /ч*
Представив тензор ц' его контравариантными компонентами
-*• (V
р'=р' Ра Рр, будем иметь \
Л/
(р' • V')-в = - р'о V'N = _ 4- (/ + ?*) oV'v'N =
/V" о/
2
= [4-0'' + l'"r>*v' 1-в- (2-20)
(. 4 А/ А" J л/ /
Далее получаем * (
v'-KHv'*!*')! = V" VP I4'0* =4" vp дРд"){*,рв +
(V /ч/ 4
¦ + ~*(v" VP+VP У")Р-,р"..
На основании тождества Риччи [27, 40, 45] имеем (v" vp - vp v.K01 "= -
Krf ^'Te - f'0* =
Здесь R^'T' * - тензор Римана - Кристоффеля на поверхности. Для него
справедливо тождество [27)
. R-р = - КО"7, К = detB.
Отсюда получаем
(V" VP - VP V") t*'"0 = - К tr jj,' + Ktr jx' =*= 0.
/V AJ
Такцм образом:
V"Vpl"'0e = -j-^e Vp + rpV^,i,?e = 2 v"Vp^'pe + fA'"p). (2.21)
Соотношения (2.20), (2.21) показывают, что в уравнении
(2.19) участвует лишь симметричная часть тензора р':
.-Lfo'+p'T). (2.22}
? <v
Теперь уравнения равновесия оболочки принимают вид одно-: го векторного
уравнения относительно двух симметричных тен-. зоров v и р:
(V гч/
.(v _ ^.В) - B-(v' -(А) + Nv' -[Q*(v' -rtl+F-B-e+Nv' *t = o.
>v M "V fV rv ~ ~ (V
(2.23)
Уравнение (2.23) получено из (2.12), (2.14) путем тождествен- : ных
преобразований. Проведя эти преобразования в обратной; порядке, придем к
уравнениям, отличающимся от (2.12), (2.14),. хотя и эквивалентным им:
V'.a + F = Ot у'-(р-е) + Доа+Т-е = 0, (2.24),
/V fv Л1 /V /V <v
eesv - ji-B + VN, Vefv* -|J.)-G+T. (2.25)
Л/ IV А/ tv А" Л"
Первое уравнение (2.24) можно назвать модифицированными уравнением
равновесия сил, а второе - модифицированным уравнением равновесия
моментов.
В компонентной форме уравнение (2.23), состоящее из трех, скалярных,
запишется в виде
У"(** - ВР) - BP V- l*eT + FP - ВР "* 0 (р - 1, 2), (2.26)1
WVpI4** + Bap(v"P - В*jtiP) + F 4- v"5* == 0, i
F=FPPp + FN,1=,?"P", v = v"PpePp, p. = (j.°Pp" Pp. ^
IV IV
Отметим еще одну запись уравнений (2j23), которую моЖно назвать
дивергентной формой уравнений равновесия оболочки' в усилиях и моментах:
V'.[V_(X.B + (V'.1A).QN + W]+F = 0. (2.27)"
о/ /ч/
Важно заметить, что уравнения равновесия (2.23) в усилиях, и моментах,
являются совершенно точными. Они справедливы для оболочки из любого
материала и не связаны с какими-либо, гипотезами о характере изменения
перемещений и напряжений по толщине оболочки. '
