Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
-6Р = G-6P + NN-6P и <?(N-fiP)/cJM будут произвольными функ-
Л/ ->
днями, координат S на контуре. Произвольность 6Р означает,
что точки контура могут свободно смещаться в любом направ- *
¦*> ->
"пении, а произвольность d(N • 6Р)/дМ означает возможность свободного
вращения вектора нормали к поверхности вокруг направления касательной к
контуру. Приходим к следующим четырем силовым граничным условиям,
связывающим контурные значения тензоров внутренних усилий и моментов с
заданными; контурными нагрузками: . -
--> ~ M-(v -2ц-В) =" /-G- k*B, (5.7)
- M.(v,-p) + d(M-t"^t)/dS=7N-M*T-^, (5.8)?
% /v /w dS
M-pM = M-? (6.9)1
Разумеется, на контуре могут быть поставлены и кинемати-1 ческие краевые
условия, т. е. наложены ограничения (связи) на"
возможные перемещения 6Р точек граничного контура. Напри-
мер, для жестко защемленного края возможные перемещения должны быть
подчинены условиям .
8Р=0, д (N-8P)/<?M = О. / (5.10)
В этом случае контурный интеграл в (5.6) обращается в нуль в силу (5.10).
Часто встречаются комбинированные граничные условия, когда контур
закреплен частично. Например,(При\ шарнирном неподвижном крае выполняются
только первые три условия из (5.10). К ним надо присоединить силовое
условце(5.8),
*¦*>
как это следует из (5:6), и производноетн 0(N • 6P)/dM. .Аналогичным
путем из контурного интеграла в (5.6) легко выводятся все возможные
комбинации кинематических н силовыхгранйч-ных условий. Разумеется, в
общем случае комбинации Типов краевых условий на разных частях контура
могут быть различными.
Таким образом, из принципа Лагранжа (5.1), в котором к сравнению
допускаются, векторы перемещения, удовлетворяющие кинематическим
граничным условиям, следуют уравнения гиперупругой оболочки в
перемещениях и силовые краевые, условия.
Теперь заметим, что вариационное уравнение Лагранжа (5.1) не является,
вообще говоря, в полном смысле слова вариационным принципом, так как не
сводится к требованию стационарности некоторого функционала от
перемещений. Это обусловлено двумя ^причинами.
Первая причина состоит в том,- что в общем случае внешние нагрузки могут
сами зависеть от перемещений оболочки и их производных по координатам и
элементарная работа внешних сил, вообще Говоря, не является вариацией
никакого функционаг ла от перемещений. Если же такой функционал
существует; то нагрузка называется консервативной, а сам этот функционал
называется потенциалом внещней нагрузки. *
К числу консервативных нагрузок относится так называемая мертвая
поверхностная нагрузка, примерам которой могут служить силы веса. Мертвая
нагрузка на оболочку определяется соотношением
* (5Л1)
где вектор Р" ие зависит от перемещений, т. е. является заданной функцией
координат q*,q2. Из (5.11) следует.
JJ F-8P dO - 8 JjF0.PdO,
о о
т. e. элементарная работа мертвой нагрузки является вариацией
•функционала.
Весьма часто встречается случай нагружения'оболочки рав-
-> •>
номерно распределенным следящим давлением F ==-pN (р== ¦const). При
некоторых условиях, к выводу которых мы сейчас ¦перейдем, эта нагрузка,
называемая гидростатической, также является консервативной [20, 21].
Пренебрегая толщиной оболочки, будем считать давление приложенным
непосредственно к срединной поверхности О. Элементарная работа "следящей
гидростатической нагрузки, очевидно, имеет вид
JJ F (Р) • 8Р dO р fj N • 8PdO. (5Л2)
О . О
Требуется выяснить, при каких условиях выражение (5.12) является
вариацией некоторого функционала. Величина давления р считается заданной
и не варьируется. .
Предварительно докажем следующее соотношение:
JJ N• 8Р dO-Т*Я N-TdO--g"J(TxP)-SPdS, (5.13)
о
г=е.
dS
Имеем
Т6 Я^о-тЯ6 )d0' (614)
О о
Q/g = det (С • Ст), V Q/g= det С.
Варьируя последнее соотношение н сославшись на формулу (2.5) главы III,
получаем
+
102
+ n N) • (P* 8P" + n8N) - |/^ P".8P" = j/" ^-v'.SP. (5.15)
Из (5.5), (5,14) и (5.15) получим .
1 СС~* i с с ->¦ ->¦ -"_"
- 8 JJ N-:PdO= yJJ [N-Pv'-8P-P-(V'8P)*N + N-8P]dO.
О О
Имея .в виду непосредственно проверяемое тождество
N-P V-8P - P.(v' 8Р)• N = v'• (N• Р8Р - PN-8P) -J- 2N• 8Р
и применяя теорему о дивергенции на поверхности, приходим к соотношению
С Г **¦ 1 С С ' I С -*>
JJ N-8PdO - Y 8 JJ N-PdO = yJ (M-PN-8P - о o r
- N -PM-8P) dS = -j J(M X N)*(P X ?P)dS =
г
g-f(t.XP)-8PdS,
г
что и доказывает формулу (5.13).
Из (5.13) следует, что гидростатическая нагрузка будет по-"~ теициальной,
если контурный интеграл в (5.13) представляет
собой вариацию функционала. Как известно [5], линейный от-
->
носйтельно 6Р функционал 6*Э является вариацией некоторого
->
функционала Э от векторного поля Р тогда и толЬко тогда, когда
выполняется условие симметричности билинейного функционала:
6,'б.Э = 6,6,'Э. (5.16)
Применительно к нашему случаю имеем
8* Э = y р j (dP/<?s X ?)•№ dS - г
*= Т Р J K^s> X Р]-"Р ds,
1
ю
к э - -J р J (dP/ds)-8' PdS. , (6.-17) :
7
Здесь s - текущая длина дуги недеформированного конту-; *> "> •
