Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
то вариационный принцип Лагранжа несправедлив и свойств потенциальности
оператора краевой задачи утрачивается. г Помимо принципа Лагранжа, в
нелинейной теории оболочев установлены и другие вариационные принципы [1,
10, 18, 25, 33] Вариационным методом исследования нелинеино-упругих
оболочек посвящены работы [3, 4, 6-8, 33].
(5.44
о
<Pm I 7 = A (S) ИЛИ
1
i 6. Прямой подход м построению теории оболочек
К сформулированным выше уравнениям механики оболочек можно прийти, не
привлекая понятий и соотношений механики трехмерной сплошной среды, а
рассматривая оболочку как материальную поверхность, наделенную
определенными свойствами.
Назовем оболочкой поверхность, наделенную массой с плот^ ностью р' на
единицу площади. Затем примем, что оболочка,, рассматриваемая как
двумерный материальный континуум, подчиняется принципу возможных
скоростей {16], согласно которому сумма мощностей внешних и внутренних
сил на любом кинематически возможном поле скоростей равна нулю, причем в
число внешних сил включаются и силы инерции:
Плотность (на единицу >площади актуальной конфигурации) мощности
внутренних сил постулируем (в следующем виде [19]:
- к' = - v° е+ [х" х. ^
/V r*J
/ч/ /ч/
Здесь е я х- соответственно тензор скоростей деформаций
/4# /ч/
и тензор скоростей искривлений рассматриваемой поверхности,
v, р - симметричные тензоры, определяющие внутренние воздей-
*
ствия в оболочке и называемые соответственно тензором усилий и тензором
моментов. Так как мощность внутренних' сил, по определению,
индифферентный скаляр (-я'* =-я'), то из индифферентности тензоров е и я
и того факта, что в локальном
Л/ Г%1
смысле тензоры сих можно взять произвольными, следует
/V /V
индифферентность тензоров v и р.
"v /V /
Запишем выражение принципа возможных скоростей:
[(F - р' v) • vp - V," ер + р ° хр] dO + (6-2)
Q ^ IV /V ^ 'V
+ J (Г-7Р- k.ap) ds = о.
г • '
-> • -
Здесь vp - возможное поле скоростей, т. е. любое дважды
дифференцируемое векторное поле на поверхности О, F - вектор
*> -> -*¦
внешних сил, распределенных по поверхности О, I и k X N*
т
"*¦ ¦ -(k-N=0)-соответственно интенсивность внешних распреде--. ленных по
граничному контуру оболочки силы и момента. Теи*
зоры ер> хр и вектор 6Р выражаются через возможное поле ск<У
" А< rsf "
"ростей по формулам (3.6), (3.8), (3.22), (3.26) главы III. ДА" простоты
письма будем считать граничный контур гладким, т. ."? лишенным угловых
точек,. ?
После интегрирования по частям и применения теоремы tf дивергенции иа
поверхности вместо (6.2) получим Г
Р*В)**-В-(\Лр)-f N v4G'(v'*P)l Ч-
, iv w ** ^
Ь'
+Э-Л1-П(r) - J ii4-*5>+t5
г I • s
- (М-р-М -M-k)dwp/^M -f [М.(у/.|*) + d(M-p-tj/dS -
-1- N - <?kt/dS] wp} dS = 0.
Так как поле скоростей vp произвольно, приходим к ураь нениям движения в
усилиях и моментах: ?
v'*(v - P-В) - B-(v'-p) + Ny'-[G-(v''f*)] +F==p'v, (6.3$
/V /V /V "V /V /х/ /V" /*
и соотношениям, связывающим краевые значения вйутренни^ усилий и моментов
с внешними контурными нагрузками: г
М (v - 2[х*В) + k-B =/"G, М-р-М = М*к, я
л/ л" ^ л/ л" |
M-(v'-t*) + <?(М.I*• t)/dS = 7.N - dktjdS. (6.41
~ 4 ~ д
Уравнения (6.3) совпадают с уравнениями равновесия обб4. лочки,
выведенными в § 2 настоящей главы путем применения условйя равенства нулю
главного вектора и главного момента всех сил, приложенных к произвольному
куску оболочки. |
-Заметим, что принцип возможных скоростей справедлив, рач зумеется, и для
трехмерной сплошной среды. Если возможно^ поле скоростей считается
совершенно произвольным дифферент
Я
адруемым полем,-то. из принципа возможных скоростей следуют уравнения
равновесия (2.3) главы II.'Если же поле скоростей _ не совсем
произвольно, а представляет собой некоторое подмножество всех
кинематически возмЪжиых векторных полей, то принцип, возможных
скоростей'приводит к некоторым уравнениям, являющиеся следствием точных
уравнений равновесия. Можно получить много разных уравнений для оболочек,
являющихся следствиями точных трехмерных уравнений равновесия. Среди них
наиболее простыми и важными являются уравнения равновесия оболочки в
усилиях и моментах, так как а них,в качестве осредненйых по толщине
характеристик трехмерного напряженного состояния участвуют только силы и
моменты -1- фундаментальные понятия для механики вообще,' н не содержатся
сверхстатические величины (моменты высших порядков)^
Исключительно важной особенностью кинематических гипотез. Кирхгофа-Лява в
теории оболочек является то, что аппроксимация возможного поля скоростей'
по толщине оболочки в форме, удовлетворяющей этим гипотезам, дает в
качестве следствия принципа возможных скоростей именно уравнения
равновесия оболочки в усилиях и момента*.
В самом деле, гипотезы Кирхгофа - Лява/ как показано в'
§ 4 данной главы,* приводят к выражению мощности внутренних сил в виде
(6.1), из которого, как только что доказано, вытекают уравнения
равновесия (6.3).
- .Отметим еще одно обстоятельство,.характеризующее модели оболочек,,
