Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
вектора: пе-емещения. Пока неясно, эквивалентны ли эти условия некото-ым
геометрическим условиям, то есть ограничениям, наложении на сам вектор
перемещений и его производные. Речь идет,
онечно, только о кинематическом условии d(N • 6Р)/дМ=0,
граничивающем возможные вращения края оболочки, так как
-
инематическое условие 6Р=0, очевидно, эквивалентно заданию гктора
перемещения как функции текущей дуги контура у.
Таким образом, предстоит выяснить, является ли кинемати-;ское условие
d(N-8P)/<?M = 0 (5j28)
лономной связью, наложенной на контурные значения вектора :ремещения и
его производных по координатам. Мы рассмот-IM этот вопрос в случае, когда
перемещения граничного контура даиы:
u|T = u0(s).
По формуле (5.5) имеем
_ м• 8N= ± (N • 8Р) + В• SP = ±¦ (N • №), (5.29)
ОГЛ " ОГЛ
t как 6P|V=0. Далее, согласно (5.5) и (3.3) главы III, можно
1исать
8N = - N-(y' 8Р)Т = - N-(C_1 -у' SP)T =
т
= - C-4v'*P);N- (5.3t
<v
Далее имеем
у'8P = шдЬР/дт -f- xdbp/ds = тдЪР/дт, (5*$1
" -> "¦
так как на контуре 6P=d6P/ds=0. На основании (5.30), (5.31 а также
(2.11) и (2.12) главы III получаем ,4.
± (N-SP) = _ M-8N = е-> 1/ i(m.C-4-".m)NX *
оМ F g ~ ~
X (дьр/дт). (5.3?
Из (5.32) следует, что при заданных смещениях граничного ко тура
кинематическое условие (5.28) эквивалентно следующем:
N*(<?8P/<?m) = 0. (5.3:
-O' . "*¦'
Краевые значения тензора f и вектора фо^ дпределяемь
соотношениями (2.22) главы III, запишем в виде разлояден| по векторному
базису касательной и нормали к контуру: . |
0 о о -*-->*¦ о о jz
1 = *rom HI Ш + ^шТШЧ-^ТТ + ^ШТ, (5.3
Л#
а •* - " -*¦
<Ро = <Р"п (tm) + (J4 Т. ;
Так как перемещения на' контуре заданы, из. (2.22) главы 1|
о о
следует, что величины ftm и <рт суть известные (неварьируем1 функции
координаты s на контуре.
Сославшись на формулу (2.27) главы III, будем иметь
дЪР/дт - ш8fmrt -J- т8f
шт + п8(r)га. (5.35"
Наконец, используя (5.35) и (2.28) главы III, условие (5.3С приведем к
виду js
(сх2 - ахз) 6xj + (bx3 - cxi - с)бх2 + (5.3^
-+-(а ах j - Ьхе)"6хз=0. *
Здесь в целях упрощения письма .введены следующие обознё чения: для
варьируемых величин- J
ддецневарьируемых величии -
1 + Ux = a, f"n =* b, = с. (5.38)
Заметим, что, как легко проверить, левая часть соотношения (5.36) не
является полным дифференциалом какой-либо функции от переменных хь х2,
Хз.
Уравнение (5.36) является уравнением Пфаффа [39], т. ё. уравнением вида
3
1>"<Х" Х2, х3) 8 xk=0. (5"39)
к-1 .
Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости (т. е.
существования интегрирующего множителя, при умножен иии на который левая
часть (5.39) превращается в полный, дифференциал) уравнения (5.39)
заключается в тождественномвы-полнении равенства [39]:
- ?)+* & - <""
Применение этого критерия показывает, что уравнение (5.36) вполне
интегрируемо. Не останавливаясь на ходе интегрирования, приведем общее
решение уравнения Пфаффа (5.36):
x8 = A^l+xt L x2j + ~ х2, (5.41)
где А - произвольная постоянная, которую в нашем случае следует считать
функцией координаты s, подобно тому как параметры а, Ь, с - некоторые
функции от s.
Возвращаясь к прежним обозначениям, из* (5.41) получаем геометрическое
граничное условие, эквивалентное кинематическому условию (5.33):
(1 + U?m-Ут*тт = A(s). (5.42)
о о о о о о
1 Т f"rt ¦*Ь fm + from f mx fш
Здесь A(s)-некоторая заданная функция.
Для жестко защемленного края u|v=0; A(s) = 0. В .этом
случае <pT=f"=fnI1=:0, и с учетом (2.22) главы III условие
(5.42) запишется в виде
т
• • ^ Т1,
ди/дт = О, u = u*n.
(5.4в
В общем случае, когда заданные на краю оболочки (или et части)
перемещения ие равны нулю, условие (5.42), задающ^ поворот края, в
отличие от (5.43), содержит производные по-hoj мали к граничному контуру
от всех трех компонент вектора п ремещения.
Теперь можно привести более аккуратную формулировку в риациоиного
принципа Лагранжа. Пусть внешние силы консе§ вативны и имеют потенциал Э,
являющийся функционалом Не вектором перемещений срединной поверхности
оболочки. Ра смотрим функционал I, определенный на множестве векторе
.перемещений, имеющих четвертые непрерывные производные ц
координатам q1, q2 и удовлетворяющих условиям u = uo(s) 'условию (5.42)
на некоторой части yi граничного контура у: i
Среди всех допустимых полей перемещений те и только , сообщают
функционалу I стационарное значение, которые удо> летворяют уравнениям
равновесия и силовым граничным уел-виям.
Функционал I называется потенциальной энергией оболочк" Сформулированный
принцип Лагранжа означает, что нел" нейный оператор краевой задачи о
равновесии гиперупругой обе лочки при консервативных внешних силах
является градиенто функционала потенциальной энергии. Операторы,
явля^ощиес градиентом некоторого функционала, называются потенциал! ными
[5] и облагают рядом полезных свойств. f
Если в качестве граничного условия, ограничивающего пов". рот края
оболочки, используется условие, отличающееся с.
(5.42), например: '
