Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
os OS
Эти формулы показывают, что меры деформации в любой точке оболочки
выражаются через введенные в главе III меры деформации срединной
поверхности Gx, Вх или gx, bx. Далее
os OS
из (3.4) и (1.29) главы II следует
n-A-g = п-И-g = 0, П'И-п=0. (3.6)
^ os os os
Видим, что гипотезы Кирхгофа - Лява предписывают такую деформацию
оболочки,-при которой отсутствуют поперечные сдвиги, а также отсутствует
удлинение волокон, перпендикулярных срединной поверхности (Z = z).
Сославшись на (3.6) главы III, из (3.1) получим представление вектора
скорости любой материальной частиды оболочки:
v (Z) = v -f ZN = v - Zv = v - Z (v' w -f Bv). (3.7)
Здесь v = v'-f-wN- вектор скорости на срединной поверхности.
Соответствующий (3.7) градиент поля скоростей находится с помощью
соотношения (1.4), записанного для актуальной конфигурации оболочки:
Vv(Z) = (G- ZB)-1 -(у'v - Z у'") - N ". (3.8)
"v os
Используя содержащиеся в § 3 главы III определения тензора скоростей
деформаций срединной поверхности е и тензора
OS
скоростей искривления х, выражение (3.8) можно преобразо-
OS
вать к такому виду:
Vv(Z)=?(G-ZB)--[e - Z(* - B-s)] +a)e + "N-Ni. (3.9)
~ OJ ms ms Of OS OS
Из (3.9) следует представление тензора скоростей деформаций оболочки:
2е (Z) = (G - ZB.)-1 • [е - Z (х - В * е) ] +
OS О/ os OS IV Л" IV
+ [e-Z(x-e.B)].(G - ZB)-1. (3.10)
шт
§ 4. Мощность напряжений и определяющие соотношения для упругих оболочек
Принимая кинематические гипотезы Кирхгофа - Лява, вычислим с помощью
формулы (2.f4) мощность напряжений в оболочке:
V "2
A(Z)T(Z)" e(Z)dZdO. (4,1)
v о 2L
~ 2
Подставив сюда вместо e(Z) выражение (ЗЛО), использоваг
/V
определения симметричных тензоров усилий и моментов *(2.9), (2.10),
(2.18), (2.22), а также учитывая симметричность тензоров е и х, формулу
(4.1) можно преобразовать к такому виду:
Я< *dV= ff(v<= е - {1° х) dO. (4.2)
JJ л/ /ч/ *+ /ч/
V О
По определению. гиперупругого тела (2.15) главы II для ги-перупругой
оболочки справедливо соотношение
V v о
h/2
W'= J aW (A)dz. (4.3)
-h/2~ ~ - й
Здесь W' -- удельная потенциальная энергия деформации
оболочкр, то есть энергия, приходящаяся на единицу площади
срединной поверхности в отсчетной конфигурации.
Сославшись на формулу (3.10), (3.22), (3.26) главы III, вместо (4.2)
получим
Ш * dV = IJV^T " G* - ц*" Bx)dO, (4.4)
V о
vx = С_т-v-C"1, ц* -С-т-ц-С-1. (4.5)
/V Г** /V" ы
Сравнивая (4.3) и (4.4), имеем в силу (3.4)
м
W' (Gx, Bx) = ~
ц'-В*. (4.6)
Соотношение (4.6), являющееся точным следствием гипотез Кирхгофа - Лява,
можно также получить и из второго равенства в (12.14) главы II:
при использовании (3.2), (3.4).
Важно отметить, что кинематические гипотезы Кирхгофа - Лява не следует
рассматривать как категорическое требование отсутствия поперечной
нормальной деформации в оболочке (то есть отсутствия удлинений
материальных волокон, перпендикулярных к срединной поверхности), хотя это
и следует из соотношений (3.4), (3.10). Вместо этого следует привлекать
так называемую статическую гипотезу Кирхгофа [36, 46], состоящую в
'пренебрежении поперечным нормальным напряжением tNN=
=N • Т • N. При такой трактовке формула (4.2) остается спра-
ведливой, так как участвующий в выражении (4.1) член *nn eNN(eNN== N'-
e(z) • N) обращается в нуль за счет пренебре-
/V
жеиия нормальным напряжением tNN (а не за счет равенства нулю величины
bnn). При построении по второй .формуле (4.3) фуйкции удельной
потенциальной энергии деформации оболочки W'(GX, Вх) для гиперупругого
материала с заданной функцией
W(A) поперечная нормальная деформация должна быть исклю-
г*
чеиа при помощи условия tNN=0.
Введенные формулами (4.5) симметричные тензоры vx, |*х
принадлежат поверхности о и являются аналогами первого конвективного
тензора напряжений в механике сплошной среды. Контравариантные компоненты
тензоров vx, рх в лагранжевом
базисе отсчетной конфигурации поверхности совпадают с коитр-
_h_ .. _h_
2 2
W' = f aW dz = f - adet(vR)[(vOTTX
J ~ J 2 ~ ~
~ j
Jh_ _h
~ 2 ~ 2
X (vr)]" Adz,
(4.7)
авариантньши компонентами соответственно тензоров v и (л в
/V (V
лагранжевом базисе деформированной конфигурации:
v = у? Р. Рр, ц = |*"ер" Рр, (4.8)
Рр, рж -р'Рр.рр .
"чу ы
Из произвольности тензоров Gx, Вх в (4.6) приходим к
ЛУ Л/
определяющим уравнениям гиперупругой оболочки:
~]/^y?,=w,b'=w'k' <м>
Л# Д" /V /V
или в компонентной записи:
/g ,s aw' aw' /1 а - Р 8 11 ~'W== Ж* ' 71 12 а=?р.
Здесь использованы определения тензоров И' и К, приве-
л* /Ч*
денные в § 2 главы III.
Следует помнить, что, вообще говоря, удельная энергия деформации оболочки
W' является функцией еще и некоторых постоянных, т. е. не меняющихся в
процессе деформации, параметров, например, тензоров, характеризующих
анизотропию материала, тензора Ь, задающего кривизну оболочки в отсчетной
/ч/
конфигурации и т. д. Другими словами, вид функции W(GX, Вх)
IV /V
определяется не только свойствами материала, но и выбором отсчетной
конфигурации Оболочки.
