Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
определенные на предысториях тензоров С и D (а не-"
- - ~ ~ •_ функции, как в (6.11)). Вид этих операторов, разумеется, зави-
. сит^не только от свойств материала оболочки, но и от выбора, отсчетной
конфигураций. , t
К определяющим соотношениям оболочек с. памятью в форме} (6.1.2)
естественным Путем приводят также типотезы Кирхгоф фа - Лява.
Действительно, для трехмерной сплошной среды % памятью тензор напряжений
есть оператор от предыстории гра? диента* деформации, а градиент
деформации в оболочке при вы? полненни гипотез Кирхгофа -Лява выражается
через тензорьц,
С и D, как'это показано в § 3.
rst rst _ *
Операторы Фь Ф2 не мбгут'быть произвольными, они должны удовлетворять
требованию материальной индифферентности? Другими словами, определяемые
соотношениями (6.12) тензоры-усилий и моментов должны быть
индифферентными тензорами. Как следует из (3.12), (3.13) главы III,
условие материальной индифферентности Накладывает такие ограничения на
операторы отклика Ф! (1=1, 2): ч S
Ф, [С*(s)*Q*(s), О'(8) 0*(8)] = QT(t).(r), [С*(s), D*(s)]-Q (t). Г
Л/ 5 *v " ^ *• л" ^ . • rst " л/ >
(6.13)"
где Qt(s)-i-произвольная предыстория ортогонального теизорйй
Напомним, что Q1 (О) = Q(t). ^ ' • -а
Так как (6.13) должно выполняться для любых ортогон ал ь-J1 ных тензоров-
Q, можно, в частности, доложить Q-Ат, где A-f
/О" , - rst rst /ч/
введенный в § 2 главы III тензор поворота.поверхности. Учиты-1 вая, что-
по (2.31) главы III D • Ат = -Вх • (U7)-1, будем Hi
rst rst rst
(6.13) иметь"' -.7-t
¦ 4
Ф, [С* (s), D*(s)l = АТ0).ф, [Urt(s), Bxt(s)-(U't)-1 (s)]*A (t).
~ #4" ~ ~
(6-14>
Представление (6.14) найдено как необходимое условие выполнения равенства
(6.13). Однако оно является и достаточным,, т. е. если операторы d>i
имеют вид (6.14), то соотношение (6.13) удовлетворяется при любых
ортогональных Q*(s) (s^O). В этом
легко убедиться, подставив (6.14) в (6.13). '
Так как C=U'-A, U/2=GX, очевидно, что представление
/V" - Л/ IV Л/ /V
(6.14), выражающее собой общий вид определяющих соотношений оболочки с
памятью, согласованных с требованием независимости от системы отсчета,
можно переписать в такой форме:.
. v (t) = Ст (t) *Ф [Gxt (s), Bxt (s)] -Ст (*t), (6.15),
* /X/ rv/ ,/vr.
' -JX (t) = CT (t),f [Gxt (s), Bxt (8)1.С (t)-
Л/ Л/ M IV "V
.Соотношения (6.15) показывают, что на актуальные значения тензоров
усилий и моментов в точке поверхности не влияет* прошлая предыстория (т.
е. для значений s>.0) поворота окрестности этой точки, а влияет лишь
предыстория мер деформация поверхности. В то же время актуальные значения
тензбра поворота участвуют в определяющих соотношениях.
А -Л
Как уже указывалось выше, операторы Ф и Т могут параметрически зависеть
от некоторых постоянных тензоров, связанных с выбором отсчетной
конфигурации. В качестве такого параметрического тензора всегда
присутствует второй фундаментальный тензор b поверхности в отсчетной
конфигурации. Поэтому
л" .
этот тензор целесообразно явно указывать в числе аргументов,, в связи с
чем примем такие обозначения: -
Ф [Gxt (s), Bxt (s)] = Ф {b, G**(s), B** (s)J, (6Л6)
S /V" /V /V" /V
ЧГ IGrt (s), Bxt (s)]= W [b, Gxt(s); Bxt (s)].
/V tss /V" t
. Оболочку с памятью назовем изотропной,- если существует такая отсчета
ая конфигурация, при использовании' которой опе-, раторы Ф и.? являются
изотропными, т. е. удовлетворяют соотношению -
-Ш
для любого фиксированного ортогонального тензора Q. -t
Легко видеть, что в' частном случае изотропных гиперупру-i гих оболочек
это определение эквивалентно представлениям
(4.19), строго. доказанным на основании гипотез Кирхгофа- Лява. . ¦
'
Одним йз приближенных способов учета истории деформит. рования в механике
сплошной среды является модель материала; ¦скоростного типа' [61],'Общее
определяющее соотношение обо* лочки скоростного тийа имеет вид ;;
d"/dt" vx = f, (dn-1/dtn~lrvx,-. f . , vx; d^'/dt"-' px,... , цх,
*4/ #N/ ' /V * /V IV
dk/dtk Gx,. . . ,GX; dk/dtkBx,. . . , Bx; b); (6Л8*
f 4 ~ ~ . ~ ~ ~
dn/dt"px = f2 (dn_Vdtn_1 Vх,. . . , vx; dn",/dtn""1 px,. . . , px, i
~ JlV IV IV IV
• dk/dtkGx,. . . , Gx; dk/dtk Bx,. . . , Bx; b).
IV А/ IV. IV '
Соотношениями (6.18) материальная производная по времен^ порядка п от
конвективных тензоров усилий и моментов задает? ся как функция
производных до (п- 1)-го порядка включитель но. от этих тензоров и
производных, до некоторого порядка к о* мер деформаций Ох, В1. Для
изотропных оболочек функции Ц
f2 суть изотропные функции своих тензорных аргументов. С .Можно доказать
(на чем мы не останавливаемся), что в по* •слёднем случае соотношения
(6.18) можно представить в такому виде:
Здесь индекс п указывает на n-кратное применение операции производной
Ривлина, фь <рг- изотропные функции своих аргу-
V >
ментов. Тензоры Gk, Вх являются аналогами тензоров Ривли-
IV л/
на -*¦ Эриксена [47]. Все участвующие в (6.19) тензоры индифферентны
и.принадлежат поверхности О, соответствующей актуальной конфигурации
