Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
основанные на гипотезах Кирхгофа - Лява. Если проследить вывод уравнений
равновесия оболочек, данный.в § 2, то молено заметить, что первоначально
в уравнениях равновесия, участвовали несимметричный тензор усилий v',
несимметричный
/ч/
тензор' моментов р7 и вектор перерезывающих сил V7. Затем,
" <v
после исключения перерезывающих сил и тождественных преобразований
уравнения равновесия приняли форму одного векторного уравнения
относительно симметричных тензоров усилий и моментов.
Существуют теории оболочек, в которых определяющие со-\ *¦ отношения
составляются для тензоров v7, р7 и вектора V7. В
/ 4 /V (V ...
рамках теории Кирхгофа - Лява* эти величины нё могут быть • выражены
через параметры, 'характеризующие деформацию оболочки. Действительно,
поскольку .мощность напряжений-в оболочке, подчиняющейся гипотезам
Кирхгофа--- Лява, выражается Только через симметричные' тензоры усилий и"
моментов
у и у, единственно адекватным подходом будет составление,
определяющих соотношений, для этих тензоров. *
' Из представления (6.1) /ложно естествённым путем прийти, к
понятию'гнперупругой оболочки. Учитывая формулы (3.10)/
(3.22) главы' III, перепишем выражение (6.1) для мощности внутренних
сил в следующем виде: *
- -LfC-T-v.C-1) ° G* + (С-т-ц-С-1) • Вх. (6.5*
2 /St /St /St МЛ/ /V у
По аналогии с определением трехмерного гиперупругого тела (2.14) главы II
назовем оболочку гнперупругой,-если существует такая функция W/,[Gx(t),-
Bx(t)]f что длй любых (движений обо
"V /St
лочки выполняется соотношение
• , j/G/gn'=W'. - (6.6)1
W' назовем удельной (на единицу площади в отсчетной кон фигурации)
потенциальной энергией деформации оболочки. Тс кая терминология
корректна, так как мощность внутренних еш всей оболочки равна скорости
убывания потенциальной энерги деформации оболочки:
* JJ(_ * * d° ==" JJ ^ё/G W' dO = - ± JJ W' do. !
Из '(6v5), (6.6) и произвольности тензоров <3Х, jBx приходи! к
определяющим уравнениям гнперупругой оболочки:
2CT.W' .с, У C-t.W,b"-C. -(6.7
rst , *
* I *
Сравнивая (6.7) с (4.9), видим, что описанный здесь прямой подход' к
Построению теории гиперупругих оболочек приводи^ к тем же результатам,
что и'метод сведения трехмерной зада;ч1 к двумерной, основанный на
гипотезах Кирхгофа - Лява.
Разница этих двух способов состоит в том, что при прямой, подходе
выражение мощности внутренних сил (6.1) не выводит* ся, а. выдвигается в
качестве аксиомы. При /этом существенна используется также аксиома
индифферентности (независимости от'системы отсчета) мощности внутренних
сил. ?
Для мощности внутренних сил оболочки можно <бь&ю б|| принять выражение,
отличающееся от (6.1) тем, что в каче* стве индифферентного тензора,
характеризующего скорость из-
меиения кривизны поверхности, используете^ какой-либо из тензоров,
построенных в § 3 главы III. Возьмем, например, такое выражение для
мощности внутренних сил:
я' = V, о е - |а, о ж", (6.8)1
/V" Л/ Л/ Л/ '
где х1 - тензор, определенный'соотношением (3.24) главы III, a vi, M^i -
некоторые симметричные тензоры.
At А*
Так как тензор хх выражается через вектор скорости (поверх-
IV
ности иначе, чем тензор х, выведенные из принципа возможных
~ ч
скоростей'уравнения равновесия для тензоров vi, pi будут по
, • "а/ , А"
форме отличаться от уравнений (6.3). По существу же эхо - те же'самые
уравнения, так как они принимают вид (6.1), ecjfc в них тензоры vi, pi
выразить через тир.. Указанную связь
At At г*/ л/
легко получить, воспользовавшись формулой (3.27) главы III. Подставив эту
формулу в (6.1), получим
я' = [v-(р-В + В-p)] "'е - * (6.9)
[ tst Z tv А< IV r>t Л/ (V At
Сравнивая (6.8) и (6.9), находдм
vt = v - -i- (р-В + В-р), >, = р... (6.10)
<v А Л, Л, At At Л/ |V
"
Таким образом, не имеет принципиального значения, какой из тензоров,
определяющих скорость изменения кривизны поверхности, участвует в
постулируемом выражении мощности внутренних сил оболочки.
Как показывают соотношения'-(6.7), в гиперупругой оболочке тензоры усилий
и моментов целиком определяются изменением метрики, кривизны^и поворотом
элемента поверхности в текущей конфигурации по сравнению с отсчетной
конфигурацией. При более общих предположениях о материале следует
учитывать влияние истории движения на внутренние воздействия- усилия и
моменты. * *
Как видно из (6.7), тензоры усилий и моментов в некоторой частице упругой
оболочки полностью определяются заданием
О -*¦
двух тензоров в той же частице: тензора С и тензора DsV'N.
Поэтому определяющие соотношения упругой оболочки можно записать так:
4
в* И*
V (t) = f, [G (t), D (t)b ¦> (t) = f2 [C (t), D <t)J. (6Л11) '?
rst "V IV - л/
Для оболочек с памятью следует учитывать влияние пред-: ыстории
деформирования, что приводит к таким определяющим I соотношениям: *
.?
V (t) ='Ф, (С* (s), D' (s)], P (tj = Ф2 [С* (s), D* (s)], (6Jl(2)|
,V /V M - /V ItSt fSt > j*
C'(s) = C(t-s), D*(s) = D(t -s), s>0,
^ #ч" /4/ "
Здесь Фь Ф2 - некоторые симметрично тензорнозначные one-а раторы,
