Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
2 AT(Zfc)
тональным двумерным направлениям, равное-1—--, также не зави-
lAnin - 1)
сит от выбора системы координат.
Определение. Гауссовой кривизной Kg в данной точке называется инвариант, равный среднему арифметическому значению римановых кривизн по всем взаимно ортогональным двумерным направлениям независимо от их ориентации:
_ S кт
kq — - .
1Anfyi- 1)
Тогда
G = — п(п — 1 )KG.
§ 9.3. Сумма внутренних углов треугольника
Рассмотрим некоторую поверхность и на ней геодезический треугольник, т.е. треугольник, сторонами которого являются отрезки геодезических линий. Далее возьмем некоторый вектор V9 определенный в одной из точек стороны CA9 образующий в этой точке со стороной CA угол ф и касающийся нашей поверхности. Будем переносить вектор V параллельно самому себе вдоль сторон треугольника и рассматривать его проекцию Fnp на выбранную поверхность (рис. 6). Сначала перенесем вектор параллельно
76 самому себе вдоль стороны CA, при этом угол ф между вектором Fnp и стороной CA сохраняется. После перенесения в вершину A9 не поворачивая, перенесем вектор параллельно самому себе вдоль стороны AB; при этом вектор Vnp образует со стороной AB угол ф — (я — а). После перенесения в вершину AB9 не поворачивая, перенесем вектор параллельно самому себе вдоль стороны ВС; при этом вектор Vnp образует со стороной ВС угол, равный ф - (я - а) - (я - ?). После перенесения в вершину C9 не поворачивая, перенесем вектор параллельно самому себе вдоль стороны CA. Теперь вектор Knp со стороной CA образует угол, равный
ф - (я - а) - (я - ?) - (я - 7) = ф + а + ? + у - Зя. Однако это же направление вектора характеризуется углом, который
В
отличается от ф + а + ? + у - Зя на угол, кратный 2я, например на угол ф+ct + ? + y — я. Пусть есть угол, на который повернулся вектор Fnp после параллельного переноса вектора V вдоль сторон треугольника. Тогда Ф=а + ($ + у — я = Е — я, где S есть сумма внутренних углов треугольника. Отсюда
S = я + у.
Пусть кривизна К одинакова во всех точках. Тогда из формулы К =
кр у S - Я
= Iim — (см. § 9.2) следует К = — , откуда К = - , где о -
а-*о а а а
площадь треугольника; величина кр = Ко называется сферическим избытком.
Примером пространства, кривизна К которого одинакова во всех точках, является сферическая поверхность, для которой К > 0. Сумма внутренних углов геодезического треугольника на сферическрй поверхности больше я, так как сферический избыток ^ = Ко > 0.
§ 9.4. Пространство постоянной кривизны
Кривизна К пространства, вообще говоря, зависит и от точки, и от двумерного направления. Однако возможен случай, когда кривизна К в каждой точке пространства одинакова по всем двумерным направлениям, т.е. в каждой точке риманова кривизна не зависит от двумерного направления. Об этом случае имеет смысл говорить, если в данной точке существуют
77 различные двумерные направления, т.е. когда размерность пространства п > 3.
Определение. Пространство, во всех точках которого риманова кривизна не зависит от двумерного направления, называется пространством постоянной кривизны.
Прежде чем перейти к важной для пространств постоянной кривизны теореме, преобразуем формулу (9.8) :
GliveaAx^Axve =K(geSger)-geig€r)) AxteAx^,
или, поменяв обозначения "немых" индексов,
GlivoaAxa*Axvo = Kigavgtlo -g?Vgaa)Axa"Axvo,
T'e'[<W - Kigavgfio - Hfivgao)] Axa»Axv° = 0. (9.10)
Теорема. Для того чтобы пространство было пространством постоянной кривизны, необходимо и достаточно выполнение равенства
к = GpvoJ[gpo8voL - g?vgaa] (не суммировать!). (9.1 1)
Доказательство. Достаточность. Если имеет место равенство (9.11), то равенство (9.10) выполняется независимо от того, каковы Axafi, т.е. независимо от двумерного направления. Это означает, что кривизна пространства К не зависит от двумерного направления и вычисляется по формуле
К = Gfivaa/ [gpogva ~ SpvSoa]• Достаточность доказана.
Необходимость. Покажем, что если пространство является пространством постоянной кривизны, то справедливо равенство (9.11). Пусть кривизна К одинакова для всех двумерных направлений в данной точке и, следовательно, не зависит от выбора бивектора Axafi9 характеризующего двумерное направление. Введем новую величину Qflvaa9 равную по определению
QpvooL Gfivaa — KigfiQgva — gpVgaa) • Тогда равенство (9.10) принимает вид
Qpvool AxafiAxvo = 0. (9.12)
Нам нужно доказать, что Qfivoa - 0, если имеет место (9.12) и К не зависит от двумерного направления. Если бы Axafi был произвольным бивектором, то из (9.12) немедленно следовало бы обращение в нуль коэффициентов Qfivaa. Но у нас Axafi характеризует двумерное направление и поэтому имеет следующую структуру :
AXe" = 7,(?,?, - ?(2)?,).
где ^2) — два произвольных (вообще говоря, не единичных) вектора, определяющих наше двумерное направление. С учетом структуры Axafi и Axva равенство (9.12) принимает вид
Qvvool-1I2 (?(1>?(2> ~ ?(2)^(1)) ' ^2 (?(I)?(2) ~ ?(2)^(1)^ =
78 Очевидно,
lIlQpvoaiZ(2) " 5(2)5(1)) = = 1I2 Q\ivool §(1)5(2) ~~ V2 QpvoOL 5(2)5(1) =
