Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
эл: _дК_
О ~ ^? (SpoSva ~ SpvSoot) + ^v (Sp?Soa ~ SpoS?a) +
ЪК
(SpvS?a ~ Sp?Sva)>
о
Ъх
откуда, свертьюая Cga**, получим
ЪК ЪК ЪК ЪК
~bx"glJLa ~ + ~Ъх" ^glia ~ ng^ + ^pr ^ ~ g^ ~
6. А.Л. Зельманов 81или
/ ЪК ЪК\
Поскольку п > 2, то отсюда следует равенство ЪК ЪК
Свертьюая его Cgfiv9 получим
ЪК ЪК
(л - 1)-- = 0, -- = О,
v Ъх° Ъх
т.е. K = const.
Теорема доказана.
Заметим, что при п = 2 условие Gfivaa = KigjlfJgva - gMl,gaa) выполняется всегда, но при этом кривизна К может быть функцией координат, т.е., вообще говоря, ЪК/Ъха Ф 0. Поэтому в случае п = 2 под пространством постоянной кривизны понимают пространство, кривизна которого не зависит от координат: ЪК/Ъха = 0.ЧА CTb II
СИЛЫ ИНЕРЦИИ И СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ
ГЛАВА ю НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
§ 10.1. Сходство сил инерции и сил тяготения
Рассмотрим силы инерции и силы тяготения в рамках ньютоновой механики и ньютоновой теории тяготения. Силы тяготения сродни силам инерции. Как известно, в неинерциальных системах отсчета на всякую частицу действуют силы инерции. В каких же системах отсчета справедливы законы механики Ньютона, записанные в виде
В законы Ньютона входит величина т9 которая называется инертной массой. Она характеризует степень инертности тела, так как ускорение W9 сообщаемое телу силой F9 пропорционально 1 /т. По своему смыслу законы Ньютона сформулированы для абсолютно покоящейся системы отсчета, но они справедливы и для бесконечного числа так называемых инерциаль-ных систем отсчета, т.е. таких, в которых справедлив первый закон Ньютона - закон инерции. Оказывается, если в системе отсчета справедлив первый закон Ньютона, то в ней справедливы также второй и третий законы Ньютона. Каковы эти системы отсчета? Это системы отсчета, которые движутся относительно абсолютной системы отсчета поступательно и со скоростью, постоянной во времени. Таким образом, в системах отсчета, которые движутся относительно абсолютной системы без ускорения, справедливы законы механики Ньютона. Это связано с тем, что в этих законах абсолютная скорость не содержится и величины, входящие в уравнения, от абсолютной скорости не зависят. Законы механики Ньютона имеют один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета, поэтому невозможно определить абсолютную скорость движения системы отсчета. Однако если система отсчета движется с ускорением, то можно определить абсолютное ускорение и обнаружить, что система отсчета является неинерциальной. В неинерциальных системах отсчета законы Ньютона имеют вид
mW =0, mW = F9 F12 + F21 = 0?
mW' = -mWnep - 2m[u~v']9 mW' = F- mWnep - 2m[uv']9 F\ 2 + F21 = 0.
(10.1) (10.2)
6*
83Здесь Wnep — ускорение переносного движения, со — угловая скорость абсолютного вращения, штрих относится к движению относительно данной неинерциальной системы отсчета.
Формально можно считать, что второй закон Ньютона справедлив и
в неинерциальной системе отсчета, если TwWnep и 2m[col;'] рассматривать как силы. Эти силы и есть силы инерции, а именно сила инерции переносного движения и сила инерции Кориолиса. Из (10.1) и (10.2) легко можно выяснить, какое ускорение сообщают силы инерции в данной неинерциальной системе отсчета различным телам —частицам, обладающим различной массой. Действительно,
W' = -Wnep - 2[St];
W'=- - Wnep - 2[?ПГ]. т
Видно, что силы инерции различным телам сообщают ускорение, не зависящее от их массы, а кориолисова сила инерции сообщает ускорение, зависящее от скорости движения тел.
Рассмотрим некоторые частные случаи силовых полей в инерциальных системах отсчета.
Электростатическое поле. В электростатическом поле сила, действующая на заряд е, определяется формулой f = еЕ, где E — напряженность электростатического поля, а ускорение W, сообщаемое этой силой заряженной
є
частице с массой m, равно W= —Е. Таким образом, в заданном электро-
m
статическом поле ускорение заряженной частицы пропорционально отношению є/m, которое назьюается удельным зарядом. Движение частицы существенным образом зависит от удельного заряда, поэтому при одинаковых начальных скоростях движение заряженных частиц с различными удельными зарядами будет разным. В частном случае, когда имеется два заряда Єї и е2, электростатическая сила есть сила Кулона:
. _ ei е2 J 12 ~ о rI 2 > П 2
и ускорение W2 второй заряженной частицы с удельным зарядом е2/т2 определяется равенством
і., - f12 - 62 61 W2 = - =--Гг12.
Tn2 Tn2 г 12
Статическое гравитационное поле. В статическом гравитационном поле сила, действующая на частицу, определяется формулой / = /zG, а ускоре-
M
ние, сообщаемое этой силой частице с массой m, равно W= —G.
m
Здесь G — напряженность гравитационного поля, величину д по аналогии с электростатическим зарядом называют гравитационным зарядом. В случае двух гравитирующих частиц с гравитационными зарядами Ii1 и д2
MiM2
на вторую частицу действует сила J12 =--— T12, которая сообщает
П 2
84ей ускорение
.. _ f\ 2 M2 Ml