Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 7.5. Тождества Бианки и Эйнштейна
Тождество Бианки: (G»uoa)P + (G-aX4G?pla )о = 0.
Доказательство. На основании определения тензора кривизны имеем К ?VO )р bxpbxv ЪхрЪха ?Vap
64 Э2Га Э2Га
?op К bxvbxa Ъх»ЪхР У цари >
(С'"«) = - ii^+?""0,
V ^ipv ?° Ъх°Ъхр bx°bxvf »pvo
где Qf'01 — выражения, содержащие произведения символов Кристоффеля друг на друга, а также произведения символов Кристоффеля на их первые производные. Выберем произвольную точку и перейдем в локально-геодезическую систему координат. Поскольку в ней все символы Кристоффеля в данной точке равны нулю, то равны нулю и величины Qf а
Легко видеть, что в локально-геодезической системе координат тождество Бианки выполняется. Поскольку левая часть тождества Бианки есть тензор, то равенство справедливо и в любой другой системе координат. Тождество доказано.
Тождество Эйнштейна:
(Gf -^Oo=O.
Доказательство. Покажем, что тождество Эйнштейна является следствием тождества Бианки при учете алгебраических свойств тензора кривизны. Тождество Бианки
(G -'а) +(G'"") +(G •••*) =O
v циа 'р v цар 'v v цри 'о
с учетом свойства 1 тензора кривизны принимает вид
(?•••<*) _(?•••*) _(?•••<*) =0. v jiva Jp v up a 'v v jivp >o
Свернем каждый член в левой части полученного равенства по индексам а и а:
(Gliv)p - (Glip)v - (G - X = 0. (7.8)
С учетом свойств 1—2 тензора кривизны последний член в левой части (7.8) принимает вид
=gao (Glivpa)a =ga° (Gapvtl)0 или, при свертывании eg
-° )0 =S^gao(Gapvtl)a =^a(Gap)a =
=gaa (Gpa)0 = (G-p°)o.
Величины (Gp0)0 представляют собой дивергенцию тензора Риччи. Свертывая равенство (7.8) с тензором ? м подучим
g*1" I(Gtiv)p -(Gtlp)v-(G-If)J=O, или
(G)p-(Gf)v-(Gf)o= 0. 5. А.Л. Зельманов ^ Далее
(C)p - 2(G;« )о = о, (g'pG)o - 2(g;° \ = о.
Отсюда следует искомое тождество:
Тождество доказано.
Заметим, что в последнем выражении в скобках стоит тензор Эйнштейна. Очевидно, тождество Эйнштейна может быть представлено также в виде
(Gpa-KgpaG)a= 0.
ГЛАВА 8
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ В л-МЕРНОМ РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
^ 8.1. Вычисление площадей
В четырехмерном пространстве-времени возможны объекты нулевого измерения — точки, одного измерения — линии, двух измерений - поверхности, трех измерений — гиперповерхности (сверхповерхности), четырех измерений — четырехмерные области (сверхобъемы). Для вычисления длины линии, как известно, используется линейный элемент ds2, который определяет квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими мировыми точками. Нам необходимо определить понятие площади. Естественно определить его таким образом, чтобы в трехмерном евклидовом пространстве оно дало обычное определение площади.
Саучай трехмерного евклидова пространства. Пусть выбрана декартова система координат. Возьмем два вектора г^^ и г^2) > их составляющие
І і „ обозначим через г ^ и г ^2) > где і — номер составляющих. Построим на
этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Нас интересует не форма параллелограмма, а его площадь и ориентация. Очевидно, площадь параллелограмма и его ориентация могут быть представлены в виде вектора, перпендикулярного к площадке, длина которого численно равна площа-
ди. Таким вектором, как известно, является вектор о:
1 (1) 2 r(i) 3 г(1>
1 (2) 2 Г(2) 3 Г(2)
= /а23 + /а31 +ко12,
66 тп ~ ik і к к і
где о — алгебраические дополнения. Очевидно, о =г ^1) г (2) ~ г (i) г (2) •
Таким образом, ок — антисимметричный тензор второго ранга. В декартовых координатах контравариантные и ковариантные составляющие равны, поэтому Oik=Oik.
—> oik
Квадрат модуля вектора о вычисляется по формуле о = 1A oiko . С помощью трехмерного фундаментального тензора h\k это выражение можно представить в виде
fl ik
о2 = lAhijhktO о С другой стороны,
о2 = lAhijhkIOilOlk = lAhuhkjO4O^ =
Ij ik
(8.1)
1/ F F П Ік
= -lAhuhkjO о Складывая (8.1) и (8.2), получим
о2 = 1MV*/ - hnhkj)olko11 Введем обозначение xik = 1A Oik. Тогда о2 = (hijhki - huhkj)xlkxJl
(8.2)
или
а2 =
hi,' hu ik jl X X
hkj hki
Если возьмем бесконечно малые векторы, то получим
do2 =
hkj
hu hkt
dx ikdx7/,
(8.3)
где
dxlk = 1Adolk = 1A (drl^dr^2) - ^rO) ^r(2))•
Формула (8.3) в евклидовом пространстве определяет площадь парал-
I к
лелограмма, построенного на бесконечно малых векторах dr ^ ^ и dr ^2 у При этом проекции площади этого параллелограмма на координатные плоскости XiXk равны doik.
5* 67 Случай n-мерного риманова пространства. Формула для определения площади элемента поверхности в /і-мерном римановом (псевдоримано-вом) пространстве получается естественным обобщением формулы (8.3):
do2 =
^aju
S?v
Sav g?v
dxa?dx?\
(8.4)
где
dxe* = lAdoe* = 1A (dx^^dxp) - dx^dx^).
Антисимметричный тензор второго ранга do€* характеризует величину и ориентацию элемента поверхности, его компоненты равны проекциям площади элемента поверхности на координатные плоскости.
§ 8.2. Объем параллелепипеда
