Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
= V2 O PVOOL ?(1)^(2) - /а
= V2 QpvoOL 5(1)5(^2) + V2 QpvoOL ?(1)5(2) ~ QpvoOL 5(1)5(2)' Таким образом,
Qpvoa-112(§(і)§(2) ~ 5(2)5(])) ' V2 С§0>§(2> ~ ?(2)^(1)) = = Qpvoa ' V2 (5(^)5(2) ~ 5(2)^0))5(1)5(2) = = 6^^5(^1)5(2)5(1)5(2)-Итак,
0^^^5^)5(2)5(1)5(2) = O- (9.13)
В левой части этого равенства стоит многочлен четвертой степени относительно 2п величин и В силу произвольности векторов и все коэффициенты в сумме (9.13) после приведения подобных членов должны равняться нулю. Покажем, что равенство нулю этих коэффициентов приводит к равенству (9.11). Фиксируя на время индексы a, v, а, ц в сумме (9.13), отберем члены, содержащие ?^), ?^), ?(2), ?(2)»С учетом симметрии, с которой ?^) и ?^2) входят в левую часть (9.13), можем написать равенства
6^^5(1)5^)5(2)5(2) = бдааі/5(,і)5(і)5(2)5(2) = 0асфі/5о)?(і)5(2)5(2) = Qovpa 5(1)5(1)5(2)5(2) * Таким образом,члены Qpvaot Z (і) ? (1) ? (2) 5<(2)
О) 5(1) 5(2) 5(2),
QoapA(I) 5(1) 5^2)5(2) ' Qovpa 5(1) 5(1) 5 Ь) 5(2) п°д°бны, поэтому СВЄ-
дем их в один член и получившийся коэффициент приравняем нулю:
Qpvoa Qpaov Qoapv Qovpa ~ О' (9-14)
Покажем, что из (9.14) следует равенство Qiivo0i = 0. Поскольку тензор Qiivaa обладает теми же алгебраическими свойствами, что и тензор Римана - Кристоффеля, то в силу свойств симметрии Qiivaa имеют место равенства
Qoapv — Qaovp ~ ~Qpova ~ Qpvoa-, Qovpa ~ Qvoap = Qpaov-
С учетом этих равенств (9.14) приобретает вид
Qpvoa Qpaov ~
0. (9.15)
Заменяя здесь индекс д на а и а на д, получим
Qavop Qapov ~ откуда с учетом свойств симметрии Qiivaa имеем
Qpvoa + Qvpoa = 0. (9.16)
79 Вследствие антисимметричности Qixvoa относительно индексов внешней пары имеем
Qpvoa + Qavop = 0. (9.17)
Складывая почленно (9.15) - (9.17), получим
^Qpvoa + (Qpaov + Qvpoa + Qavop) = 0« (9.18)
Здесь третий индекс фиксирован, а остальные меняются в циклическом порядке. Вычислим выражение в скобках, стоящее в левой части (9.18). На основании свойств симметрии Qiivoa можно написать равенства
Qpaov — Qapvo ~ Qovpa* Qvpoa ~ Qpvao = Qoavfl
Qavop — Qvapo ~ Qopav> откуда
Qpaov + Qvpoa + Qavop ~ Qovpa + Qoavp + Qopav
Однако в силу тождества Риччи (7.6)
Qovpa + Qoavp + Qopav ~ Oj
следовательно,
Qpaov + Qvpoa + Qavop ~ 0*
С учетом этого из (9.18) следует Qiivoa = 0, что равносильно равенству (9.11).
Таким образом, предположив независимость кривизны/С от двумерного направления, получим равенство
Gpv0Ot ~~ K(gpo8va ~ SpvSoa)- (9-19)
Теорема доказана.
Приведем некоторые следствия доказанной теоремы. Пусть п > 2. Тогда необходимым и достаточным условием того, что пространство является пространством постоянной кривизны, как было доказано выше, является условие
y^ pvoa = ^igilo g va SpvSoa)•
Свернем это равенство Cgact. Тогда получим
Giiv = -(" - 1 )Kg?V. (9.20)
Свертывая (9.20) с g?v, получим
G = -(п-\)пК. (9.21)
Подчеркнем, что равенства (9.20) и (9.21), вообще говоря, не являются условиями постоянства кривизны пространства, а представляют собой следствие этих условий.
Пусть /1 = 4. Тогда Giiv = -SKgiiv, G = -12К. Эти равенства представляют собой необходимые, но не достаточные условия для постоянства кривизны пространства, так как здесь независимых уравнений только 10; поэтому из них невозможно определить все существенные составляющие тензора кривизны четырехмерного пространства, число которых равно 20.
80 Пусть п = 3. Тогда G?V = —2Kgiivi G = — 6К. Первое равенство является необходимым и достаточным условием постоянства кривизны трехмерного пространства, так как число существенных составляющих тензора кривизны в этом случае равно шести, т.е. равно числу независимых уравнений. Поэтому из них можно определить все существенные составляющие тензора кривизны.
§ 9.5. Теорема Шура
Если пространство является пространством постоянной кривизны, то согласно теореме из § 9.4 справедливо равенство (9.19). На основании теоремы частного из этого равенства следует, что К есть инвариант (не зависящий от двумерного направления, но, возможно, зависящий от координат выбранной точки). Однако оказывается, кривизна К в этом случае не зависит также и от координат выбранной точки (теорема Шура). Таким образом, если во всех точках пространства размерности п > 3 риманова кривизна К не зависит от двумерного направления, то она не зависит и от точки, т.е. от координат, следовательно, К не только инвариант, но и константа.
Теорема Шура. Если при размерности пространства п > 2 кривизна пространства в каждой точке не зависит от двумерного направления, то она не зависит и от точки.
Доказательство. Пусть пространство является пространством постоянной кривизны. Тогда
GpvaoL ~~ jioSva ~ SpvSoot)-Найдем ковариантные производные от тензора Римана — Кристоффеля:
а*
(@pvoot)? ~~ ^? (SpoSva ~ SpvSOOt)»
ЪК
(?ilo?a)v ~ T (Sp?Soot ~ SpoS?a)>
Ъх1 ЪК
ъ7с
(?p?va~ ъ о (X^vS?a Sp?Sva) •
Складьюая почленно последние три равенства и учитывая, что левая часть полученного равенства согласно тождеству Бианки равна нулю, имеем
