Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 23

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 89 >> Следующая


Рассмотрим вопрос о существовании функций хе, удовлетворяющих системе уравнений (7.3). Начальными данными здесь служат значения функций хе и их первых производных Эхе/Эха при каких-то определенных значениях равных х$. Мы предполагаем, что функции, входящие в (7.3), аналитичны в некоторой окрестности системы значений своих аргументов в начальной точке х$. Тогда согласно теореме Ковалевской из теории дифференциальных уравнений следует существование функций хе, аналитических в этой окрестности и удовлетворяющих системе уравнений (7.3) при любых начальных данных. Искомые функции хе(ха) находятся из (7.3) при заданных начальных данных. Поскольку функции jce(xa) определяют переход от одной системы координат к другой, то начальные данные нужно задать таким образом, чтобы якобиан преобразо-Эх*

ваний det в начальной точке ха был отличен от нуля. Такой выбор

начальных данных возможен, так как решение системы уравнений (7.3) существует при любых начальных данных.

Таким образом, при тождественном выполнении равенства GJleJa* = 0 условия совместности системы уравнений (7.3) выполняются при любых значениях х€ и Эх7Эха, и существуют функцииXe(Xa), удовлетворяющие (7.3) при любых начальных условиях. Эти функции определяют переход от данной системы координат {? } к системе координат {5 }, в которой во всех точках рассматриваемой окрестности точки х? символы Кристоффеля равны нулю. Теорема доказана.

Другое доказательство достаточности равенства нулю тензора кривизны Gpvo0l во всех точках пространства для того, чтобы пространство было плоским, приведено в § 9.1.

Заметим, что в кривом пространстве всегда можно выбрать систему координат, локально-геодезическую в данной точке. Однако при этом тензор кривизны G^va в этой точке не обращается в нуль, так как производные от символов Кристоффеля Г ^v не обращаются в нуль в этой точке, хотя значения самих величин Г^v в данной точке равны нулю.

Рассмотрим основные свойства тензора Римана - Кристоффеля. По данному тензору GJ1W введемтензор Giivop = gpaG^vo :

(ЭГа ЭГа \

»<> 01 М" . p? га r? га V

bxv Эха ^a 0 a^/

_ дГда.р _ bgp0L ? __ bgp0L ?

Эх" Эх" 1^1"*' i^-Mr '""la^

60 эг

_ га (Г +Г } + Г л — ^xj 1 /uavA i>p,a 1 vatp) т 1 /ua1 р/3,р

дГд^р ї-Г^Г, =

^a т 1MPV1 ap, а 1 аа,р/ 1 др1 а/3,р

_ 8Гда,р 8ГУ,р аа0/г г _ р р \ ~ ^v в \1 ?v,?l ор,а 1 po,?l vp,aJ -

Далее получим

2 \ЭхрЭха + Ъх*Ъх» Ъх»Ъхр Ъх»Ъха)

+ga?(T?V ? Гра,а - Гма>/3 Грр>а). (7.5)

Индексы д,р тензора Giivop образуют внешнюю пару, а индексы у, a — внутреннюю пару. Заметим, что тензор Римана - Кристоффеля часто обозначают через R?Vtap. Мьі обозначаем его через Glivop, чтобы не путать G с масштабным фактором R в космологии. Имеется следующее соответствие между тензором GfivopH тензоромRixvt0p из книги JI.Д. Ландау и Е.М. Лиф-шица "Теория поля" (М.: Наука, 1973):

Giivap +-+R?v^op ,

1234 12 34

1,4-+1,2,

3,2+-3,4,

т.е. Giivop = R?Piav = —R HPi va .

Отметим основные свойства тензора Римана — Кристоффеля:

1) G -'01

' HVO pov

(это свойство равносильно следующему: G?Vap = ~ Giiovp);

2) Giivop = — Gpvofjt ;

3) Giivop -"Gviipo;

4) тождество Риччи:

Giivop + Giiopv + Gjlpvo — 0. (7.6)

Заметим, что в равенстве (7.6) индекс д остается на месте, а другие индексы циклически переставляются. Можно также на месте оставить любой другой индекс, а остальные индексы циклически переставлять. Свойство, выражающееся тождеством Риччи, называется циклическим.

Доказательство тождества Риччи. В каждой мировой точке можно выбрать локально-геодезическую систему координат. В ней все значения символов Кристоффеля первого и второго родов в данной точке равны нулю, но их производные отличны от нуля. Если мы покажем, что левая часть (7.6) равна нулю в локально-геодезической системе координат, то в силу

61 того, что левая часть (7.6) есть тензор, она будет равна нулю и в любой другой системе координат.

С учетом (7.5) в локально-геодезической системе координат имеем

г +г +г - 1 / b2SiIV VgiiQ ь2Siip

Gtivap^tlopv + Gtipvo - — уъхръх0 Ъх„ЪхР ^bxv

VgPa Vgyp Vgqy _ ^giIG Vgiip

Эх"Эх" дхцЬх° Эх"Эхр " Эх"Эхр ~ ЭхаЭх"

Vgii V _ Vgyp _ Vgov VgPo \ =

" ЪхрЪх° ~ Эх"Эха ~ Эх"Эхр ~ Эх"Эх" J "

Таким образом, в локально-геодезической системе координат равенство (7.6) выполняется тождественно, следовательно, в силу тензорного характера оно выполняется и в любой другой системе координат. Свойство доказано.

Заметим, что это тождество можно доказать и не переходя к локально-геодезической системе координат. Мы же специально доказательство тождества Риччи провели путем перехода в локально-геодезическую систему координат, ибо такой прием очень часто используется при доказательстве различных тензорных равенств.

§ 7.3. Число существенных составляющих тензора Римана — Кристоффеля

Число существенных составляющих тензора Римана - Кристоффеля Gfivop меньше полного числа составляющих в силу свойств симметрии и цикличности. Для того чтобы составляющие тензора кривизны G^irop не равнялись нулю тождественно, необходимо выполнение условия V Ф о. Число различных пар значений v и о у составляющих Gtivop равно т = Cn 9 где п - число измерений, С* - число сочетаний из п элементов по к: С* =
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed