Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
42)
Ma 41) ъ
Рис. 5 Voc
произведение равно нулю: ga?(AKa)0^) = 0; поэтому
tg<p = ^AKa?(?2), или
tg V sXafit(2) ' ° WAxve) = - G?l'e №2)Axve =
= -G?VeoL${i)i{2)(xve)ob o.
73 С учетом антисимметрии Gjiveot по индексам а, /і имеем tg*= -Gave^b = Да. (9.5)
Тогда из последних двух формул для tg у получим
Выражение в квадратных скобках есть бивектор, характеризующий единичную площадку (т.е. единичный бивектор), причем он лежит на той же площадке, которая определяется Axve9 поэтому это есть тот же единичный бивектор (jcaM )о • С учетом этого угол поворота кр от вектора Vа к его проекции на площадку, определяемую бивектором Axve9 после параллельного переноса вектора Vа по замкнутому контуру, лежащему на этой площадке, определяется формулой
^V=Gfivea(Xafi)0(Xve)0Ao. (9.6)
§ 9.2. Кривизна пространства На основе (9.6) имеем
~~T = Gfiveoi(Xcifi)0(Xve)0. Ao
Вычислим предел отношения (tg у) /Ao при стягивании в точку замкнутого контура, по которому параллельно самому себе переносится вектор Vа. При стягивании контура в точку Ao 0, 0. Введем величину К по формуле
tg \р
K = Iim -= Iim
Aa 0 АО Да-* 0 Ао Величина К назьюается кривизной (римановой кривизной) пространства в данной точке в данном двумерном направлении, характеризуемом единичным бивектором (Xpe)0. Тогда
K = Gfivea(Xafi)0(Xve)0. (9.7)
Мы до сих пор пользовались локально-геодезической системой координат. Однако (9.7), как равенство двух инвариантов, представляет собой тензорное равенство, поэтому оно справедливо в любой системе координат. Это равенство может быть представлено в виде
AxafiAxve К ^f '
или, с учетом равенства (8.4),
Да2 =
Safl ^olv
Axa^Axfiv
GfiveaAxafiAxve
K = ——-. (9.8)
8е$
ДхсаДх
74 Если нас интересует риманова кривизна в некотором двумерном направлении, всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы это двумерное направление стало двумерным направлением координат, тогда оно будет касательным к координатной поверхности. Вычислим риманову кривизну в двумерном направлении координатной поверхности X1f X29 т.е. в направлении той координатной поверхности, где х°, х3 остаются постоянными, a X1f х2 изменяются. Уравнение выбранной нами координатной поверхности есть ха = const, где а = 0,3. Поскольку Axfitj = = 1/4(Ддг(1)Дд:(2) - то в нашем случае отличными от нуля
составляющими Axfiv являются Ax12 и Ax219 причем Ax21 = -Ax129 остальные составляющие Axfiv равны нулю. Для вычисления К воспользуемся формулой (9.8). Очевидно,
GllPea AxotfiAxve = G2vel Ax12 Axve + G1 ve2 Ax21Axve = = G2121Ax12Ax12 +G2211 Ax12 Ax21 +G1122Ax21Ax12 + + G1212Ax21 Ax 21 = 4С1212Дх12Дх12 =4 G1212(Ax12)2
и
8 в fr Se п
Axe6Ax^n = A
Sn Si2 S2 і S22
(Ах12)2.
Тогда на основании формулы (9.8) получим, что риманова кривизна в двумерном направлении координатной поверхности X1tX2 определяется равенством
K = Gl212l[gllg22-(g12)2].
Имеет смысл говорить о двумерных направлениях, ортогональных друг к другу. Пусть дано некоторое двумерное направление. Сколько всего будет ортогональных к нему двумерных направлений? Двумерное направление определяется единичным антисимметричным бивектором, у которого Угп(п - 1) существенных составляющих. В четырехмерном пространстве (пространстве-времени) всего шесть взаимно ортогональных двумерных направлений, так как при п = 4 величина 1Ап(п — 1) = 6. Таким образом, в четырехмерном пространстве существуют шесть независимых ориентаций двумерной поверхности в том смысле, что любая возможная ориентация двумерной поверхности может быть получена из шести основных ориентаций.
Вычислим сумму римановых кривизн по всем взаимно ортогональным двумерным направлениям. Выберем систему координат, которая в окрестности интересующей нас точки ортогональна. Тогда при^ Фи g?V = g?v = = 0, а при ;jl = v gfiv = Ijgiiv. Пусть Ar(I A:) - риманова кривизна в двумерном направлении, определяемом поверхностями X19Xk (индексы /, к в K(ik) ставим в скобках, чтобы не путать с составляющими тензора). Тогда
_ Cqioi аоо і і v _ ^020200,,22
A(oi)---g , A(o2)----G0202g g ,
S00S11 SooS22
_ G0303 a00a33 K _ 0UM _1 1 _22
A (о 3)---^0303S S , K(12)---G1212g g ,
S00S33 S11S22
75 _ ^232 3 _ 2 2 _3 3 K -JllilL-Г а3 3_1 1
Az2 3)---^2323^ g , А(31)---^3131^ g •
S22S33 gssgll
Найдем сумму этих шести величин; при этом поменяем местами индексы внутренней пары у всех G?V?0l. Тогда
AT(Ol) +^(02) +^(0 3) +^(12) +^(23) + *(31) =
(Cooi I^0V1 +Goo22*°V2 +Goo33Л33 +G1122g1 V2 + + ^22 33^22^33 +G331lg3V1). Вычисляя инвариант кривизны G = G?V€0lgfit^geci, получим
C = CoeirfeV1 + Coo22S0V2 +СооззЛ33 + G1122S1V2 + + G223sS2V3 + G391 ,*3 V1 + C1, „oS*1 + G22OOS2V0 +
. г гтЗЗ^ОО . г ff22ffll ,л (,33_22 + Г 1 _3 3 =
+ ^ЗЗООЯ Я + ^2211^ g + ^332 2^' Я + <^1133? Я
= - 2(АГ(01) +Ar(O2) +/Т(0 3) +Ar(I2) +*(23> I-/L(31)). (9.9)
Найдем среднее значение римановых кривизн по всем взаимно ортогональным двумерным направлениям. Зависит ли это значение от выбора системы координат? Согласно (9.9) сумма римановых кривизн по всем взаимно ортогональным двумерным направлениям с точностью до постоянной есть инвариант кривизны G. Этот результат мы получили в системе координат, ортогональной в окрестности нашей точки. Однако эта сумма есть инвариант, следовательно, она не зависит от выбора системы координат, и среднее значение римановых кривизн по всем взаимно орто-
