Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
п\
= - в Аналогичное рассуждение справедливо и для индексов ц и
к\(п-к)\
р: число различных пар д, р также равно т = C2n. Если бы для составляющих Gfl v ор выполнялись только свойства 1-2, то число существенных составляющих тензора кривизны равнялось бы т2. Но в силу свойств 3-4 число существенных составляющих понижается и не равно т2. Составляющих тензора кривизны, у которых внешние и внутренние пары одинаковы, всего т. Число составляющих, у которых внешние и внутренние пары различны, равно C^1. Если бы не было свойства 4, то число существенных составляющих тензора Gfxvop равнялось бы т + C^1 = = хАт(т + 1).
Пусть к - число, на которое понижается число существенных составляющих тензора Gtivop из-за свойства 4; через TV обозначим число всех его существенных составляющих. Тогда
N=lAmim + 1) -к = ViC2n (C2n + 1) - к. Остается вычислить к. В тождестве Риччи один индекс фиксирован.
62Если число измерений п> 4, то может случиться, что все индексы различны, но возможно, что они и совпадают. Два индекса могут быть одинаковыми, но если три индекса одинаковы, то соответствующая составляющая Gixvap тождественно равна нулю. Рассмотрим случаи, когда два индекса одинаковы, и выясним, влияет ли при этом тождество Риччи на число существенных составляющих тензора Римана - Кристоффеля Giivap. Пусть ц = V9 где р — фиксированный индекс. Тогда в силу свойств 2, 3 и равенства д = v имеем Gilрро ~ GvPil а, Gvрро ~ Gpvail — — GpVар, GiiapV = 0, и тождество (7.6) принимает вид: Gfxvap + 0 + (-Giivap) =5 0. Видно, что тождество Риччи выполняется не в силу цикличности, а просто потому, что все члены в его левой части взаимно уничтожаются. Таким образом, при її = V тождество Риччи (7.6) не накладывает никаких ограничений на число существенных составляющих тензора Римана - Кристоффеля. Пусть v = р (здесь нет фиксированного индекса). Тогда с учетом свойства 1 имеем Gfx pv а = Gii vpa = — Gfx v ра = 0, Gfi opv = Gil avp> Gii apv Guvap, и тождество Риччи принимает вид Gfxvop+ (-Guvap) +0 = 0. Видно, что снова левая часть равна нулю не в силу цикличности, а вследствие свойства 1 и равенства v =р; следовательно, при v =р тождество Риччи никаких ограничений на число существенных составляющих тензора Gii pv а не накладывает. Таким образом, на число существенных составляющих тензора Римана - Кристоффеля накладывают ограничения только те соотношения из тождества Риччи, у которых все четыре индекса различны. Различных индексов в п-мерном пространстве всего п. Положение индексов в первом члене левой части тождества Риччи определяет положение индексов в других членах, поэтому достаточно заняться структурой первого члена. Имеет ли значение положение фиксированного индекса (положение трех нефиксированных индексов не имеет значения, так как если оно меняется, это приводит к цикличности)? Пусгь д, V9 о, р имеют вполне определенные значения и пусть они различны (для определенности, например, 0,1,2,3), кроме того, пусть V фиксирован. Другой вариант тождества Риччи имеет вид
Gvapii +Gvpiia +Gviiap =0. (7.7)
Выясним, зависимо тождество (7.7) от (7.6) или нет. С учетом свойств 1 - 3 имеем
GviIap ~~ Giivpa Giipva, GvpiXo ~ Gpvaii = — Giivap,
GVap? Giiapv ,
GVap? + Gvpiia + Gvfiap = — (Giiapv + Giivap + Giipva) = 0.
Таким образом, (7.7) есть следствие тождества (7.6), поэтому неважно, какой именно индекс в тождестве Риччи фиксирован и каковы значения индексов (лишь бы индексы имели различные значения из п возможных значений). Число выборов четырех различных значений из п возможных равно С\ Значит, число к, на которое понижается число существенных составляющих тензора Римана - Кристоффеля из-за тождества Риччи, равно Cw4, при п = 4 к = 1, при п = 3 к =C34 = 0.
63Итак, число существенных составляющих тензора Римана — Кристоффеля равно
N = 1AC2n (C2n + 1) - C4n = 1Ii2 П2(п2 - 1), где п — число измерений. Можно легко показать, что N есть целое число.
§ 7.4. Тензоры, получаемые из тензора Римана — Кристоффеля свертыванием
Введем тензор Риччи, который, по определению, имеет вид
... о
pvo
с —с • * * ° = о °Р Г4 uVV ^r uva S ^jHVOp*
ИЛИ
С -_ 01 "" + 01 *в _Г0 Г» +Г0 Г<*
дха Элг" lItrlCtfi^1PCl1Pfi-
С учетом
= э In4A^
имеем
С & г« + 82lnvCF -Г- Э1п>/=7
"" Ъх" v? bx?bxv ?V дха
Поскольку правая часть полученного равенства симметрична относительно P9V9 следовательно, тензор Риччи Giiv- симметричный тензор. Число его существенных составляющих, как и фундаментального тензора gм v, равно п + С2 = 1AnQi+ 1). Можно получить также смешанный и контравариант-ный тензоры Риччи: G^v и G?V. Произведение g iipGiivap тождественно равно нулю как произведение симметричного тензора g?p на тензор Giivap9 антисимметричный по индексам д, р.
Свертывая тензор Риччи с фундаментальным тензором, получим инвариант, который называется инвариантом кривизны: G = G' ? =g iivGiiv. Тензорами Эйнштейна называются тензоры
Eiiv = Giiv-VigiivGt E?v =G^ -? ^'"G,
Eiiv - Giiv — Vigiiv G. Число существенных составляющих тензора Эйнштейна равно 1AnQi+ 1).