Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Получим формулу для вычисления объема параллелепипеда в /і-мерном римановом пространстве. Сначала рассмотрим случай трехмерного евклидова пространства.
Случай трехмерного евклидова пространства. Пусть координаты декартовы. Возьмем три вектора г ^l), г ^2)» г (з> >их составляющие обозначим
k k k , соответственно через г(2)» г(з)' гДе * ~ номер составляющей.
Построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед. Объем полученного параллелепипеда, как известно, вычисляется по формуле
Г0) 2 г(і) 3 r(i)
к V=+ |г I= - I г(/) I rIv 2 Г(2) 3 Г(2)
Г!з) 2 Г(3) 3 Г(3)
В декартовых координатах контравариантные и ковариантные составляю-
к к щие вектора равны: г ^ = поэтому I f(/) I = I ''(/)* I • С учетом
этого и свойств определителей имеем
К2=(|г(01) =(IrtoI)(IrmkI) =
к I kl kl
= Ird) 11 hkirU) 1 = 1 r(0A*'r(/> 1 = 1 h"r(OrO) 1 >
где hik — трехмерный фундаментальный тензор.
Поскольку V2 представляет собой свертку тензора второго ранга Inik
с векторами f(/), г(/)>т0 F2 есть инвариант. Рассмотрим параллелепипед, построенный на бесконечно малых векторах dr^9 dr ^2), dг(з)> составляющие которых соответственно равны dx ^9 dx ^9 J* (3) • Тогда
(JK)2 = \hkldx(k0dxl(n I = Idx^hkldx^ I =
к l к I
= I dx(i) И hkldxU) I = |dx(f) \\dx{j)hlk | =
к l к 2 = I dx(i) I I dx(f) I I hlk I = h( I dx(i) \) .
Таким образом, в трехмерном евклидовом пространстве объем параллелепипеда с бесконечно малыми ребрами вычисляется по формуле
JK = yfh (8.5)
где h — трехмерный фундаментальный определитель.
Случай n-мерного риманова (псевдориманова) пространства. Формула для вычисления объема элемента в п-мерном римановом (псевдоримано-вом) пространстве получается естественным обобщением формулы (8.5):
dV = V^=H \ dx"?)\9
где g — /i-мерный фундаментальный определитель.
ГЛАВА 9 КРИВИЗНА РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 9.1. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру
Как было показано в § 5.5, при бесконечно малом параллельном переносе вектор получает приращение
8 ^ = ^KaJx", или 6 Km = -Tiiva Vadx\
Рассмотрим параллельный перенос вектора по замкнутому контуру. В результате такого переноса вектор Vfi получит приращение
AK^ = ?6 Vm = Vadx\
Согласно теореме Стокса интегрирование по замкнутому контуру можно преобразовать в интегрирование по поверхности, опирающейся на этот кон-тур; при этом не требуется, чтобы подынтегральная функция была вектором. Пусть Qv - величина, зависящая от индекса v (не обязательно век-
69 тор), и пусть она имеет п составляющих (в нашем случае п =4). Пусть doev — антисимметричный тензор, характеризующий величину и ориентацию площадки:
CV Є V V є
da = (іdx(1)dx(2) - dx(i)dx(2)).
Тогда по теореме Стокса имеем
fQvdx» = f ~ do™, (9.1)
а дхє
где dxv берется вдоль замкнутого контура, на который "натянута" поверхность а. С учетом равенств
bQv ^Qv Э Qe J±lLdo™=--s^dove=--—doev
или
Ъх€ Ъхе bxv
равенство (9.1) принимает вид
и
1 ,/Эбе Э6Л е
Пусть Qv = Ka, тогда, применяя теорему Стокса, получим
фга V dx" = -L г _ ^iM 1 da..
9l?VVadx 2J[ dxV ъхе Jtfa ¦
Преобразуем подынтегральную функцию:
Э(гДка) Э(г;ка) _ ЗГД 9V01
* о* 1 п
Эх" Эд:є bxv а Эх"
v-vct bvol + ra r? v - r01 r? v -vOi 1 pv . e "riZue1Pa^jS lpelvay?
— V? + Гм„Геа V? Gfive Vql + ГдЄ(Va)v — Tjip(Ka)e.
Ьхє * "" Ьх€ Г
Тогда
AV?=$rZvVadx"= f [GMye*Va+ ^e(Ka)v-C(Ka)Jda"6. (9.2)
2 a
Подынтегральная функция не является тензором, следовательно, не будет тензором и интеграл. Если бы даже подынтегральное выражение было тензорной величиной, при интегрировании по конечной области интеграл, вообще говоря, таковой не был бы. Действительно, пусть подынтегральное выражение является вектором. Интегрирование, по сути, представляет собой суммирование, поэтому интеграл представлял бы собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых - векторов. Однако для того чтобы складывать векторы или тензоры, их надо поместить в одной точке. В римановом пространстве, как и в евклидовом,
70 эти величины нужно перенести в одну точку. Однако в римановом пространстве результат переноса зависит от того, по какому пути переносится вектор из одной точки в другую, поэтому результаты переноса для разных путей будут разными. Таким образом, в римановом пространстве при неплоской метрике суммирование (интегрирование) не вполне определено.
В нашем случае вектор Fm переносится по замкнутому контуру параллельно самому себе, при этом его приращение вычисляется по формуле (9.2). Будем стягивать этот контур в точку. Тогда площадь поверхности, опирающейся на замкнутый контур, и длина контура будут стремиться к нулю. Выберем локально-геодезическую систему координат для той точки, к которой стягивается контур. В этой системе координат в данной точке все символы Кристоффеля равны нулю. Тогда из (9.2) получим в пределе формулу для вычисления приращения вектора при параллельном переносе его по бесконечно малому замкнутому контуру, который стягивается в точку, для которой выбранная система координат является локально-геодезической :
