Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Здесь производится суммирование по і от 1 до 3. Если потенциал Ф зависит от временной координаты Г, то и все коэффициенты ряда зависят от t.
Выберем в качестве точки, в окрестности которой разлагаем потенциал в ряд, ту точку, которая падает свободно. В этой точке (все величины для нее отмечены индексом нуль) имеем go = / ИЛИ (g — /)о = 0 (поскольку / одинаково во всех точках, / =/о). Тогда
следовательно,
Ф = Фо +
1 / Э2Ф \
2 Wa*'/
(Xi-X10Xxj
X0) + ...,
т.е. потенциал результирующей гравитационно-инер-циальной силы отличается от постоянной величины членами второго и более высокого порядка малости. Постоянную величину можно положить равной нулю, тогда
Ф = \ (~7~) (х - - *о) + ...
Z WdJtV0
Рис. 9
89 В качестве примера рассмотрим вопрос о происхождении приливов и отливов на Земле. Земля движется в суммарном гравитационном поле Солнца, Луны, планет. Это поле неоднородно. Падает ли Земля в этом гравитационном поле свободно во всех своих точках? - Нет. Если бы Земля падала свободно во всех своих точках, то она распалась бы. Свободно падает только центр инерции Земли. Пусть Земля движется в сферически-симметричном гравитационном поле Солнца (полем Луны и планет будем пренебрегать). При этом различные точки Земли испытывают разное ускорение. Поскольку свободно падает только центр инерции Земли, то существуют результирующие силы, растягивающие Землю по линии соединения с Солнцем и сжимающие Землю в перпендикулярном направлении (рис. 9). Эти силы и вызывают соответственно приливы и отливы на Земле. Таким образом, приливы и отливы на Земле происходят вследствие того, что гравитационное поле, в котором движется Земля, не может полностью компенсироваться полем инерциальных сил. В центре инерции Земли гравитационное поле отсутствует, оно уничтожается свободным падением, там нет ни сил инерции, ни сил гравитации. В остальных точках существует гравитационно-инерциальное поле. Это есть проявление локального характера принципа эквивалентности Эйнштейна. Результирующая гравита-ционно-инерциальная сила, действующая на некоторое тело на поверхности Земли, называется силой тяжести этого тела.
§ 10.3. Некоторые виды систем отсчета
1. Инерциалъная система отсчета. В СТО обычно рассматривают инер-циальные системы отсчета, причем такие, у которых пространственные координаты декартовы. Однако в инерциальной системе отсчета можно выбрать и недекартовы пространственные координаты, тогда выражение для линейного элемента ds2 будет более сложным. Выпишем выражения для ds2 в разных системах координат в инерциальной системе отсчета:
а) в декартовой системе координат
ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dl2, (10.4)
б) в цилиндрической системе координат
ds2 = -с2dt2 + d?2 + dV2 + Y2d)p2 , (10.5)
в) в сферической системе координат
ds2 = —с2 dl2 +dJ2 +72(d<92 + sin 2Hdy2). (10.6)
В цилиндрической и сферической системах координат пространственные координаты криволинейны, но система отсчета инерциальна.
90 Переход к любой другой инерциальной системе отсчета выражается формулами преобразования Лоренца:
V
t - —X
~ С ~ X-Vt t =-, * =-
Vl - V2Ic2 V I-»2 /с2
у = у, 7 = z.
После преобразований получим выражение для ds2 : ds2 = -с2 dt2 + dx2 +dy2 + <iz2.
2. Система отсчета Мёллера. Формулы преобразования Мёллера имеют вид
Ct
~ с
X +
/ с2\ at
-2 / с2\ at
- = (х + —)ch — , (10.7)
а \ а/с
У = У, z = z.
rs^* /V /V /V
Подставив выражения для ty X1 у, z в формулу (10.4), получим
Js2 = "(J + "Г") ^2^2 +dX2 +(ІУ2 +dz2- (10-8)
Напомним, что переход от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой, выражается в том, что пространственные координаты одной системы отсчета зависят не только от пространственных координат другой системы отсчета, но и от временной координаты. Таким образом, соотношение
X +
C2 / C2 \ at — = Ix+ — Jch — а \ а/с
выражает факт движения одной системы отсчета относительно другой. Система отсчета, к которой с помощью формул преобразования Мёллера мы переходим от инерциальной системы отсчета, называется системой отсчета Мёллера. Эта система отсчета является неинерциальной. Покажем, что система отсчета Мёллера является релятивистским аналогом равномерно ускоренной системы отсчета в ньютоновой механике. Для этого выясним, как изменяются формулы преобразования Мёллера в нерелятивистском случае. Рассмотрим область, малую в двух измерениях пространст-
91 венно-временного многообразия, а именно в направлениях х и t9 а в направлениях у и г область может быть сколь угодно велика. Предположим, что
\х\ < с2/а,, \at\ < с.
С учетом этих неравенств первые две формулы преобразования Мёллера принимают вид
- / с2\ at et « he + —)— « ctf
~ с2 / с2\/ a2t2\ C2 C2 a2t2
X +— « (х +—1(1 +—— 1 » * +— +--- =
а \ а / \ 2с/ я я 2 с
с^ at>_ ~ * * а 2
Таким образом, в выбранной нами пространственно-временной области
~ at2
t ъ t, х^х + -.
2
Эти два приближенных равенства такие же, как и формулы преобразования от инерциальной системы отсчета к равномерно ускоренной системе отсчета в нерелятивистской механике, следовательно, преобразование Мёллера представляет собой релятивистский аналог перехода от инерциальной системы отсчета к равномерно ускоренной в ньютоновой механике.
