Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, уже в ньютоновой теории тяготения можно было сформулировать принцип механической эквивалентности, на который впервые обратил внимание А. Эйнштейн. Он сформулировал более общий принцип -принцип физической эквивалентности.
§ 10.2. Принцип эквивалентности Эйнштейна
Принцип эквивалентности Эйнштейна гласит: система отсчета, абсолютно покоящаяся или движущаяся инерциально в однородном гравитационном поле с напряженностью g, и система отсчета, движущаяся поступательно с ускорением / в отсутствие гравитационного поля, физически эквивалентны, если g ж - /.
Заметим, что Эйнштейн первоначально сформулировал более узкий принцип: система отсчета, абсолютно покоящаяся в постоянном однородном гравитационном поле с напряженностью g, и система отсчета, движущаяся равноускоренно с ускорением j в отсутствие гравитационного поля, физически эквивалентны, если ? = - /.
Эйнштейн сформулировал нечто большее, чем то, что содержится в механике и теории тяготения Ньютона, так как если системы отсчета механически эквивалентны, это еще не значит, что они физически эквивалентны. Физическая эквивалентность систем отсчета означает, что в них любые физические процессы протекают одинаково.
В качестве, примера рассмотрим распространение света в разных системах отсчета (рис. 7). С точки зрения ньютоновой механики в однородном
Лучи с бет а Лучи света Лучи света %
Система отсчета, по-кояш,аяся в отсутствие гравитационного поля (система К) Система отсчета ,движущаяся по отношению н системе H без ускорения Система отсчета, движущаяся по отношению к системе Кравноускоренно
Рис. 7
87 гравитационном поле свет распространяется прямолинейно и равномерно, поэтому лучи света в этом поле прямые. А в системе отсчета, движущейся поступательно и равноускоренно, согласно ньютоновой механике, лучи света искривлены. Из принципа физической эквивалентности Эйнштейна следует, что и в однородном гравитационном поле, как и в системе отсчета, движущейся равноускоренно поступательно в отсутствие гравитационного поля, свет распространяется по кривым.
Согласно принципу эквивалентности Эйнштейна физическая эквивалентность систем отсчета имеет место при однородных полях g и /. Естественно возникает вопрос: имеется ли физическая эквивалентность в случае неоднородных полей g и / ? Будет ли произвольное неоднородное гравитационное поле эквивалентно полю сил инерции какой-нибудь неинерциальной системы отсчета? — Нет, не будет. Можно ли выбрать движение неинерциальной системы отсчета так, чтобы она своим движением с ускорением уничтожила неоднородное гравитационное поле во всем пространстве? — Нет, нельзя.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Для сил инерции переносного движения можно ввести потенциал и для гравитационного поля также можно ввести потенциал (знак потенциала мы считаем равным знаку силовой функции). Для гравитационного поля справедливо уравнение Пуассона у2Ф = _4 пур, следовательно, V23> < 0; причем для поля вне масс \72Ф = 0, а для поля внутри масс У2Ф < 0. Для сил инерции V2Ф > 0, для однородного поля V2Ф = 0. (Здесь Ф - потенциал силового поля.) Силы тяготения направлены к центру - "источнику" гравитационного поля Oi и на бесконечности равны нулю. Силы инерции направлены от "источника" центробежных сил O2 и на бесконечности стремятся к бесконечности (рис. 8). Таким образом, привчу / цип эквивалентности Эйнштейна носит ло-\ / кальный характер: неоднородные поля \ / в достаточно малой области можно V у считать однородными, значит, в этой \ / области имеет место эквивалентность ~* J* ^ этих полей.
/ Для теории тяготения Эйнштейна ва-
/ жен не только сам принцип эквивалент-
/ ности, но и его локальный характер.
/ ^ Другими словами, возможность reo мет-
ризации поля тяготения — это следствие V у не только наличия принципа эквивалент-
\ / ности, но и того, что этот принцип носит
\ / локальный характер. Если бы этот прин-
\ / цип имел глобальный характер, теория
\ / тяготения Эйнштейна не могла бы сущест-
— ^Q ^ ^ вовать как теория, отражающая объек-
/ 2 \ тивную реальность. В отсутствие грави-
. тационного поля справедлива специаль-
* \ ная теория относительности, т.е. метрика
/ пространства-времени галилеева. Как
мы увидим ниже, в силу локального. 8 го характера принципа эквивалентности
88 Эйнштейна метрика только в однородном гравитационном поле галилее-ва; в неоднородном гравитационном поле она уже негалилеева.
Пусть жесткая недеформирующаяся система отсчета движется в гравитационном поле. Если гравитационное поле однородно, такая система отсчета может падать свободно, потому что ускорение, сообщаемое этим гравитационным полем, одинаково во всех точках. Если гравитационное поле неоднородно, то ускорение, сообщаемое гравитационным полем в разных точках, различно, поэтому свободно может падать только одна точка системы отсчета, в остальных точках существует гравитационно-инерциальное силовое поле.
Вычислим потенциал результирующей гравитационно-инерциальной силы, действующей в жесткой недеформирующейся системе отсчета, которая движется поступательно с ускорением / в гравитационном поле с напряженностью g. Пусть g — напряженность гравитационного поля, / — ускорение неинерциальной системы отсчета, —/ - напряженность инерциального силового поля. Нас будет интересовать потенциал результирующей силы g — /, который обозначим через Ф. Предполагая потенциал Ф аналитической функцией координат, разложим его в окрестности какой-нибудь точки в степенной ряд:
