Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
AFm = VMfive aVaAove.
Это равенство тензорное, так как, очевидно, его правая часть есть тензор и ДКМ есть тензор (вектор) как разность двух векторов, находящихся в одной и той же точке. Поэтому оно верно не только в локально-геодези-ческой системе координат, но и в любой другой системе координат.
Таким образом, вектор Fm, параллельно перенесенный по бесконечно малому замкнутому контуру, который лежит на площадке, определяемой тензором Aove9 и стягивается в точку, в пределе получит приращение AFm : A Fm = ViGfive а V01 Aove. (9.3)
Легко можно получить аналогичную формулу для приращения AFm контравариантиого вектора Fm при его параллельном переносе по замкнутому контуру. Действительно, поскольку при параллельном переносе скалярное произведение не меняется (см. § 5.5), то A(VfxWfx) =0, где Wfx -произвольный ковариантный вектор. Отсюда A(FmJVm)= AF" • Wfl + F" • AWfx = = AF" • Wfl + F" • ViG^laWa - Aove = = Wfl (AF" + *AGave?VaAove) = 0 или, в силу произвольности вектора Wfx, получим
AF" = -lAGav'/VаAove. (9.4)
Если тензор кривизны G flva? равен нулю во всех точках пространства, то, как легко видеть из (9.3), при параллельном переносе вектора по замкнутому контуру его приращение равно нулю. Отсюда следует, что в этом случае результат параллельного переноса вектора из одной мировой точки в другую не зависит от выбора пути переноса.
Этот факт можно использовать для доказательства достаточности равенства нулю тензора кривизны G ^va0 во всех точках пространства для того, чтобы пространство было плоским. (Другое доказательство достаточности
71 было приведено в § 7.2.) Действительно, во всяком пространстве можно выбрать систему координат, локально-геодезическую (галилееву) в данной
• • • о
мировой точке. Поскольку при Gfiva = О результат параллельного переноса не зависит от выбора пути, то перенося таким образом галилееву систему из данной точки во все остальные, можно построить систему координат, галилееву во всем пространстве. А это и означает, что пространство плоское.
Из формулы (9.3) для изменения координат вектора при его параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура выведем дальнейшие следствия.
Найдем угол между векторами Vfl и AVfl. Для этого воспользуемся скалярным произведением этих векторов:
VmAVm = Vi VGullIue ° Va Aove = ViGfivea Vм VaAove.
Правая часть этого равенства тождественно равна нулю как двойное внутреннее произведение симметричного тензора Vм Vа и тензора Gfl vea, антисимметричного по индексам д,а. Следовательно, ViiAVfl = 0. Аналогично Vfl А Vм = 0. Таким образом, приращение, получаемое вектором при его параллельном переносе по замкнутому контуру, перпендикулярно самому вектору:
gafiVaAVM = 0.
Введем величины Axve9 составляющие бивектор (т.е. антисимметричный тензор второго ранга):
Дх"е = ViAove = Vi(Д*о)Д*(2) - AxlnAxvi2J-Тогда из (9.4) получим
AVa = - Gfive01 VмAxve.
Пусть дана площадка, характеризуемая бивектором Axve9 и единичный вектор Vol9 касательный к этой площадке. Перенесем вектор Vа параллельно самому себе по замкнутому контуру, лежащему на этой площадке. Вектор, который получится после параллельного переноса, вообще говоря, будет иметь направление, отличное от направления вектора Vа, и не будет касательным к этой площадке. При этом его приращение будет равно AVa. Кроме того, вектор AV0l перпендикулярен к Vа: gafJL AVol • Fm =0. В общем случае приращение AVa состоит из двух частей - части, ортогональной к площадке (ее мы обозначим через (ДКа)0), и части, касательной к ней (ее обозначим через (ДКа)г). Поскольку вектор AVa перпендикулярен к Va9 то он лежит на поверхности, перпендикулярной к вектору Vа. Следовательно, (AVa)0 1 Vа, (AVa)tLVa (рис.4).
Введем единичный бивектор (xV€)o, т.е. бивектор, характеризующий единичную площадку. Пусть он ориентирован так же, как и бивектор Axvc Тогда Axve = (дсРе)0Дог, где Ao - площадь, определяемая бивектором Axve.
Введем локально-геодезическую систему координат для той точки, к которой стягивается контур. Построим единичный бивектор (л*ре)0 на единич-
72 ных векторах и ^2), таких,
ЧТО } = Vа, } 1 Zfiy Одна-ко направление вектора может
быть выбрано неоднозначно. Выберем его таким образом, чтобы направление поворота от вектора ) к вектору Jj^2J совпадало с направлением поворота от вектора Vа к вектору Vа + (AVa)t. Тогда вектор ^2 у совпадает по направлению с вектором (А V а) t, но не совпадает с ним по величине. Очевидно, оба вектора Jf^1 у Jf^2J касательны к площадке Axve.
Поставим перед собой задачу вычислить угол на который поворачивается проекция исходного вектора на площадку после его параллельного переноса вдоль замкнутого контура, лежащего на этой площадке. Поскольку проекция на площадку после его параллельного переноса есть Vа + (AKa)f, то угол у - это угол между векторами Vа и Vа + (AKa)f (рис. 5). Очевидно,
tgvsHT^"= 1 (Луа)'
С учетом того, что(AFa)f = AVa - (AK01)0, имеем
tg = АГ**?*)-ga?(A VMf2y Поскольку вектор (AKa)0 ортогонален к площадке, а вектор %^2) каса-телен к ней, то (AKa)0 ортогонален и к вектору ? ^2) > значит, их скалярное
