Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
3. Вращающаяся система отсчета. Для перехода от инерциальной системы отсчета к системе отсчета, которая вращается относительно первой с постоянной угловой скоростью со, пользуются формулами преобразования
Y= t, Y=z, У = г, = + cot. (10.9)
Соотношение )р = ф + cot выражает факт движения одной системы отсчета
~ ^r ^ Vw/ ^ ^
относительно другой. Подставим выражения для t, Z9 г, \р в формулу (10.5), получим выражение для ds2 во вращающейся системе отсчета:
/ со2г2\
ds2 =-\\---Jс2dt2 + 2cor2 dtdy + dz2 + dr2+r2dy2. (10.10)
4. Система отсчета Робертсона. Формулы преобразования Робертсона имеют вид
Г= t ch X, r = cfshx, 9= в, ф = ф. (10.11)
Факт движения одной системы отсчета относительно другой выражается
соотношением г = cfshx- Подставив выражения для t, г, 0, в формулу (10.6), получим выражение для ds2 в новой системе отсчета:
ds2 =-c2dt2 +c2t2[dx2 +sh2x(d62 +Sin2Odip2)],
92или, вводя обозначение R=Ct9 получим
ds2 =-с2 dt2 +R2[dx2 +Sh2XidO2 +SinaAify2)]. (10.12)
Что же представляет собой координата х? Это радиальная координата. Она отличается от обычной радиальной координаты тем, что а) х - безразмерная координата; б) в выражении (10.12) перед круглыми скобками стоит це X2 > как обычно, a sh2x (при малых значениях х> очевидно, sh X ~ х); это связано с тем, что пространство системы отсчета Po-бертсона есть пространство постоянной отрицательной кривизны, поэтому невозможно выбрать радиальную координату г таким образом, чтобы пространственный линейный элемент имел вид dr2 + г2 (dO2 + sin2Ody2). Такой выбор радиальной координаты возможен только в трехмерном евклидовом пространстве; в) вся пространственная часть линейного элемента ds2 зависит от временной координаты t. (Это означает, что система отсчета Робертсона деформируется, причем она испытывает однородную и изотропную деформацию. Расстояние между фиксированными точками, имеющими фиксированные пространственные координаты, расгет пропорционально временной координате t.)
Различают, как известно, три типа движения сплошной среды: поступательное, вращательное и деформирующееся. Соответственна им мы рассмотрели три системы отсчета: систему отсчета Мёллера, вращающуюся систему отсчета и систему отсчета Робертсона. Все три системы отсчета неинерциальные, но характер сил инерции в них различен.
§ 10.4. Линии времени и пространственные сечения инерциальных систем отсчета
Формулы перехода от одной четырехмерной системы координат к другой
Xа = Х°(Х°, X1f X2f X3)
запишем, выделив временную координату:
= x°(x°f X1f X2f X3), (10.13)
Xі = X *(х°, x1f x2f x3). (10.14)
Рассмотрим эти формулы с точки зрения выбора линий времени и пространственных сечений инерциальных систем отсчета. Как было показано в §4.1, система отсчета полностью определяется совокупностью своих линий времени. Рассмотрим инерциальную систему отсчета и совокупность покоящихся относительно нее частиц. Мировая линия каждой из этих частиц
в данной инерциальной системе отсчета описывается уравнением Xі = const и представляет собой прямую линию. Поскольку мировая линия частицы, покоящейся в данной системе отсчета, совпадает с одной из линий времени этой системы отсчета, то линии времени инерциальной системы отсчета суть
93параллельные прямые. Если одна инерциальная система отсчета движется относительно другой, то их линии времени будут пересекаться. В силу псев-доевклидовости пространства-времени в СТО угол между ними мнимый и определяется равенством tg Ot = iv/e.
Если частица движется относительнр данной инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то ее мировая линия прямая, если же частица движется с ускорением, то ее мировая линия кривая. Пусть система отсчета движется с ускорением, и пусть в этой системе отсчета частицы "закреплены". Уравнение мировых линий частиц в этой системе отсчета есть Xі = const. Если система отсчета движется с ускорением, то частицы, "закрепленные" в ней, также движутся с ускорением, значит, их мировые линии кривые. Но уравнения линий времени совпадают с уравнениями мировых линий "закрепленных" частиц. Следовательно, линии времени системы отсчета, движущейся с ускорением, кривые.
Как было указано в §4.1, преобразование (10.14) при д1с*/дх° Ф 0 переводит одну систему отсчета в другую, т.е. изменяет совокупность линий времени. Преобразование (10.13) не выражает факта движения. Что же оно тогда выражает? Возьмем пространственное сечение х° = const. Если в
/¦V л
преобразовании (10.13) временная координата не зависит от пространственных координат Xі, X2, X39 то фиксированное значение х° будет соответствовать фиксированному значению X09 т.е. условие X0 = const эквивалентно условию х 0 = const. В этом случае пространственные сечения одной системы координат совпадают с пространственными сечениями другой системы координат, даже если эти системы координат принадлежат разным
системам отсчета. Если х 0 зависит от пространственных координат, то условия х° = const их0 = const не эквивалентны, и пространственные сечения у этих систем координат разные. С этой точки зрения рассмотрим преобразование Лоренца. С помощью формул преобразования Лоренца мы от инерциальной системы отсчета K1 переходим к инерциальной системе отсчета K2- Если бы мы воспользовались формулами преобразования