Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
По линейности отображение Ц7(е)(С) продолжается на Y+/J43, Справедлива
188 Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Лемма 8.11. II W/(?) (С) || Кс, е-
Доказательство. Эта оценка легко получается с помощью многократного
применения неравенства Шварца:
| (ф, (С) к II ф IIII ф II1 - *-2" (г|), (Ге> (су (С)Г
а из условия (SO.d) следует, что при /г->• оо верхний предел последнего
множителя не превосходит Кс, е- ?
(Строго говоря, сначала надо проверить ограниченность оператора \У(г)(С)
на У+, чтобы можно было корректно определить его как оператор в Y+IJT -
Ш?)
О
о,
о
Рис. 23,
Пусть Сь ..., Сп - контуры, упорядоченные по времени
и удовлетворяющие условию
dt (Ci-u С{) >0, l - 2,...,n
(см. рис. 23). Мы определяем "функцию Вайтмана" следующим образом:
Ус,...cn(Zl> zn)s^nipl1...........^nn)" (8.28)
где
-У
г = (iz0, z), если z = (z0lz).
Из условия спектральности следует, что функция
Wcx....cn(zu ..., zn) аналитична по zu zn на множестве,
где Im (zi - zi+i)e V+, i= 1,2, ..., n - 1.
Заметим, что при индивидуальных однородных лоренце-вых преобразованиях
контуров Сь ..., Сп WCl.......сп преоб-
разуется нетривиально. Вильсоновы петли содержат все (целые) спины
(полуцелые спины появляются в случае "звёзд" В(С)). Их следует
рассматривать как операторы, которые порождают целые траектории Редже, а
не только одни чао тицы.
8. Общий подход к теории нелокальных объектов
189
Имеет место некоторая совместная аналитичность операторнозначных функций
типа
e^VyVW''8' (С),
но подробный анализ этого вопроса завел бы нас слишком далеко.
Более важное обстоятельство состоит в том, что действия унитарных бустов
на 1F(8)(C) не портят аналитичность "функций Вайтмана":
Лемма 8.12. Пусть С - контур, лежащий в гиперплоскости t = 0. Тогда
билинейная форма
Q (qp, ф) - (еЕЯе~'Рве"еЯф, Wie) (С) егНее~еЯф), (8.29)
определенная на Же,оХ^е,о, соответствует ограниченному оператору, норма
которого не превосходит Кс, е> гДе е'=ее_| РI. Доказательство. Имеем
geHg- В g - &Н - (Q - -zH gift B'j q - В
= ееЯе-(сЬ if | )еЯ+(1/|]Г| )(sh I (T|
- ег (l-e-lt I ) He-e sh IP I (Я-(Р/Г? | )$)g-Tf5B.
Последние два множителя ограничены, и поэтому утверждение леммы вытекает
из равенства
ег (l-e-ltl )я^7(г) (Q ег (l-e-lTl) Я = jp(e') (Q; (8.30)
где е' = е-1 Р k. ?
Замечание. Билинейная форма (8.29) соответствует оператору где СЧ -
образ контура С при действии
буста, сохраняющего гиперплоскость контура и имеющего параметр р.
Это означает, что можно таким же образом, как и выше, определить "функции
Вайтмана" для петель С\, ..., Сп, лежащих в произвольных пространственно-
подобных гиперплоскостях пространства Минковского.
d. Граничные значения ("обобщенные функции Вайтмана")
Содержание этого пункта является ныне достаточно стандартным. Нужно лишь
помнить, что поскольку из-за условия (SO.c) возможны сильные
экспоненциальные сингулярно-
i90 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
сти, то в качестве пространства пробных функций вместо пространства 9*
используется некоторое пространство более гладких функций.
Теорема 8.1-3. Пусть С\, Сп - контуры, лежащие в пространственно-подобной
гиперплоскости. Тогда граничные значения
Hm %°с,.......с (х1 + п]!, ..., хп + ir\n)
4l....пп->°
s K-f i = l, п-1
существуют в смысле ультраобобщенных функций Джаффе (с индикаторной
функцией со (л), которая при |х|->оо ведет себя как |х|',/(р+|), где р
такое же, как в условии (SO.с)) ¦
Замечание. Мы не хотим здесь вдаваться в теорию ультраобобщенных функций
Джаффе. Всё, что нам нужно, это то, чго в этой теории допустима сильная
локализация, а именно для каждого открытого множества существует пробная
функция с носителем в этом множестре. Подробности см. в [65].
Доказательство этой теоремы имеется в [55].
е. Локальность и теория рассеяния
Приводимый ниже результат о локальности - по существу непосредственное
приложение метода Йоста [47], который доказал, что локальность вытекает
из симметричности функций Вайтмана. Из-за протяженности контуров
необходима, правда, некоторая дополнительная осторожность. Подробности
см. в [55].
Теорема 8.14. Пусть Си С2 - два контура, каждый из которых лежит в
(своей) пространственно-подобной гиперплоскости, причем их выпуклые
оболочки Си С2 пространственноподобны друг другу. Тогда соответствующие
вильсоновы петли коммутируют-
Замечания. 1. Я полагаю, что смысл этого предложения ясен и без точного
определения всех входящих в него слов.
2. Этот результат о локальности - не самое лучшее из того, что можно
ожидать. Так, например, в нём ничего не говорится о парах контуров в
гиперплоскости / = О, таких как на рис. 24, которые на самом деле также
должны коммутировать. Однако и такого результата достаточно для теории
рассеяния.
Идея доказательства. По условию все точки множества
Di2~ {%1-X2I Xi sCj, х2е С2}
представляют собой точки Йоста, и существует генератор буста р-В, такой
что
Рассмотрим теперь несколько некорректно определенную "функцию Вайтмана"
