Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зайлер Э. -> "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой" -> 68

Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.

Зайлер Э. Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой — М.: Мир, 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnieteoriisvyazi1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 76 >> Следующая

проверены закон ренорм-группы (3), а также разложение сильной связи (g-2-
^оо). Результаты изображены на рис. 30.
Видно, что при определённом значении константы связи происходит смена
режима (crossover).
Это явление объясняется близостью к точке фазового перехода смешанной
модели (см. рис. 25, где обычной модели соответствует Рд = 0). До точки
смены режима хорошо работает разложение сильной связи, а затем - закон
(3).
Недавно Томбулис [4] анонсировал теорему, согласно которой А > 0 в
решёточной калибровочной теории с группой SU(2)- Доказательство основано
на рекурсионном уравнении [5], из которого в своё время была впервые
приближённо тюлучена кривая для К (gf). Затем Каданофф [6] заметил,
что рекурсионное уравнение позволяет получить оценку вверху для свободной
энергии.
В работе Томбулиса утверждается, что сила взаимодействия между кварками
также ограничена снизу величиной, полученной из рекурсионного уравнения.
Доказательство использует так называемые "шахматные оценки" етатистиче-
¦ской суммы (см. основной текст, стр. 23).
fi - %а
0 12 3
Рис. 30. Результаты расчета коэффициента натяжения струны в SU (2) -
теории методом Монте-Карло. Линия 1 соответствует десяти порядкам
разложения сильной связи, линия 2 проведена по формуле (3).
204
Добавление. А. А. Мигдал
Если это доказательство будет окончательно подтверждено, то проблему
удержания кварков можно будет снять с повестки дня.
Напомним основные идеи рекурсионного подхода к статистической механике и
к калибровочным теориям на решётке. Общая стратегия рекурсионного подхода
состоит в том, чтобы последовательно проводить частичные суммирования,
закрепляя в статистической сумме некоторые коллективные переменные.
В спиновой системе можно вводить блок-спины как среднее значение
нескольких соседних спинов. Суммирование по
Рис. 31. Одномерная цепочка спинов. Крестиками обозначены нечётные спины,
по которым производится суммирование. Оставшиеся чётные спины образуют
цепочку вдвое большего шага с изменённым распределением
Гиббса.
спинам при закреплённых блок-спинах производится без особого труда,
поскольку каждый спин связан с ближайшими соседями, а значит, суммы
факторизуются.
На следующих шагах уже приходится делать приближения, пренебрегая связями
далеких блок-спинов, иначе кратность сумм возрастает. Типичная схема
сводится к нахождению такой структуры функции распределения вероятностей
блок-спинов, чтобы при объединении блок-спинов в новые блоки большего
размера и суммирования по незакреплённым переменным эта структура
сохранялась (в рамках сделанных приближений).
Начальным распределением вероятностей является распределение Гиббса е~$Е
исходной системы. После каждого суммирования аффективный шаг решётки
увеличивается в несколько раз, а распределение вероятности для
закреплённых переменных меняется.
Если общая структура функции распределения сохраняется (приближённо или
точно), то возникают (нелинейные) рекуррентные уравнения для набора
параметров, характеризующих это распределение. Решая эти уравнения, можно
исследовать критические явления, связанные с бесконечным числом
взаимодействующих степеней свободы. Возможное упрощение связано с тем,
что эти степени свободы "включаются" бесконечной последовательностью
одинаковых преобразований параметров.
Приведём тривиальный пример одномерной спиновой цепочки (рис. 31), где
распределение вероятностей распадается на произведение множителей
P(si,st+1), зависящих от пары соседних спинов. При суммировании (скажем)
по нечётным
_j_*-|_х-1_
14 15 16 17 18
Задачи и перспективы калибровочных теорий
205
спинам при закреплённых чётных возникает новый фактор F2l вместо Fi,
отличающийся от старого преобразованием свёртки:
Р2L (S2> s-l) ~ ^ dSah ь ($2, .S3) I'l (% s4). (4)
В этом примере в качестве блок-спинов выступают чётные спины, а
параметрами распределения вероятности могут служить коэффициенты фурье-
разложения, диагонализующего преобразование свёртки.
Эти коэффициенты fn перемножаются:
fn(2L) = f%(L). (5)
В калибровочной теории необходимо соблюдать калибровочную инвариантность,
поэтому нельзя просто вводить средние рёберные матрицы и вообще
фиксировать какие-либо матрицы при интегрировании в статистической сумме.
Выход из положения легко найти в двумерной теории, где каждое ребро
связывает только два соседних квадрата (см. рис. 32). Интегрирование по
матрице gxy этого ребра также имеет вид свёртки:
<щНМпКч> (в)
Здесь для краткости в качестве аргумента функции F указан контур, вдоль
которого расположены соответствующие матрицы, от которых зависит F. Из
инвариантности распределения вероятностей следует, что F зависит только
от характеров группового элемента, отвечающего произведению g-матриц по
замкнутому контуру-
Пользуясь ортогональностью и нормировкой характеров, мы, как и в
одномерной спиновой системе, приходим к мультипликативности коэффициентов
разложения.
При объединении двух соседних квадратов (т. е. при интегрировании по
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed