Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
= йsО? ЬФ8
где Ях - множество всех ребер, лежащих в Л.
Отметим, что С(0), C?f(0) имеют нулевые г. у. Дирихле на всех квадратах,
а C(l), Gр(1) являются функциями Грина для нулевых г. у. Дирихле только
на ЗА.
Следующая формула представляет собой очевидное тождество (основная
теорема дифференциального и интегрального исчисления!):
с<')= (Е П IlWirW- (7-76)
4 Г ver 6<=v 0 '
здесь суммирование производится по всем множествам по-парно-
непересекающихся полимеров (связных множеств, состоящих из ребер
двойственной решетки) в Л и sr означает, что Sb = 0 для всех Ь, не
принадлежащих никакому уеГ. Конечно, аналогичная формула имеет место для
Gf.
Если Г есть объединение попарно-непересекающихся полимеров уи уп, то
соответствующая статистическая сумма разлагается в произведение:
Zr = 1JV (7.77)
Для "модифицированных статистических сумм" (ненормированных средних) дело
обстоит аналогично, за исключением того, что все члены, пересекающие
носитель наблюдаемой, объединяются в один полимер (наблюдаемые,
содержащие Cf> вроде (7.73), также не должны быть связаны). Активности
определяются теперь формулой
* (Y) = ( П j dSb -Ш~) Zv (sv)> (7-78)
и аналогично определяются модифицированные активности:
7. Устранение всех обрезаний
171
Как и в разделе 3, мы получаем
= , (7.80)
х
где X обозначает суммирование по всем мультииндексам (кластерам),
связанным с Р и линейным по Р.
Как мы видели в разделе 3, для доказательства равномерной (по Л)
и абсолютной сходимости разложения (7.80)
нужно только установить оценку
|Zp(Y) |<ce-ftlvl (7,81)
с достаточно большим Ь.
Для доказательства (7.81), как и в случае устойчивого разложения,
воспользуемся интегрированием по частям,
чтобы оценить
-J- Zy (sY) {P)Sy - \ (F) P. (7.82)
Имеем
z (SY) (P)sY = 5 WKbP,
где на языке диаграмм, использовавшемся ранее,
В последнем слагаемом виковское упорядочение производится одновременно по
отношению к фермионам и "фотонам"; для фермионов виковское упорядочение
производится по отношению к свободной функции Грина, и для "фотонного"
поля F - по отношению к полю с ковариацией С или по отношению к белому
шуму. Это виковское упорядочение возникает из-за того, что мера содержит
detf, и оно исключает все опасные (расходящиеся или условно сходящиеся)
диаграммы.
172 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Фермионы в вершине > можно считать впковски упорядоченными (формально их
виковская добавка равна нулю).
Ф' ч
Нужно сделать важное замечание о вершине р_
Как уже отмечалось, ей соответствует слагаемое
(e|lvA_1(9vf),
которое выглядит опасным из-за дальнодействия. Причина, по которой здесь
тем не менее всё хорошо, кроется в калибровочной инвариантности. А
именно, будет всегда свя-
зано с некоторыми другими фермионами, что приведет к сходящейся
фейнмановской диаграмме (все потенциально опасные диаграммы включены в
ковариацию поля F) вида
53 fix,
для которой выполнено условие
611 = ^ = °' (?'84) Но последнее означает (поскольку, в силу наших
граничных условий, гармонических слагаемых в разложении Ходжа нет), что
/ц == Bixv^vS'
так что подозрительно выглядящий член Д-1 в этой вершине всегда
сокращается. Конечно, его присутствие существенно для получения хороших
теорем типа счёта степеней, т. е. конечных диаграмм.
Это коротенькое обсуждение показывает, что калибровочная инвариантность в
форме тождеств Уорда является решающей для возникновения массы в этой
модели.
Оценка величины
ZP(Y)=Srf'SfII Кь)Р (7'85)
\b G у )
проводится теперь способом, хорошо известным в конструктивной теории поля
и с точностью до некоторых деталей напоминающим устойчивое разложение.
Производные, входящие в Кь, делают величину (7.85) малой по двум
причинам:
ТТ <5 - , w \ ТТ д
7. Устранение всех обрезаний
173
экспоненциально малы по \&\ и экспоненциально убывают с увеличением
расстояния точек х и у от множества 3$.
За необходимыми оценками производных функций Грина, которые далеко не
тривиальны, а также за другими, комбинаторными оценками мы отсылаем
читателя к прекрасной статье [39].
Оценить (7.81) удается при условии, что е мало, а М велико. Ввиду
масштабной ковариантности важно лишь отношение е/М. (Чтобы убедиться в
этом, нужно проварьировать размер квадратов покрытия.) Постоянная b будет
порядка 2М, так как наши наблюдаемые являются четными функциями
фермионных полей.
Надеюсь, что теперь становится понятным, как могло бы быть доказано
следующее утверждение:
Квазитеорема 7.24. В модели КЭД2 при малом в/М для полей iF, /у,
выполнены все аксиомы Остервальдера - Шрадера, включая аксиому
кластерности. Существует массовая щель порядка 2М.
Замечания. 1. Отметим, что разложение не работает вблизи тривиального
швингеровского предела (М->0). Было бы интересно выяснить, что здесь
происходит. По-видимому, здесь работает другой механизм возникновения
массы. К сожалению, теория возмущений по параметру М является чересчур
сингулярной (в противоположность ситуации, исследованной в [13]), как
