Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
условиями, которые могут быть интерпретированы как средние значения
оператора е~ТИ в некотором (ненормированном) состоянии. Таким образом,
где X обозначает произвольные граничные условия.
Наиболее полезными граничными условиями (г. у.) являются:
1) свободные г. у. (обозначаемые символом F), которые соответствуют
выключению заряда из поля материи вне рас-
где Я1,р) - гамильтониан с (анти-) периодическими граничными условиями,
HVp) - соответствующий свободный га-
Tre-(tm)<(Tre-<w>")"
(7.27)
Ttr'^ У
Тг е L
°(а)р
-aLT
(7.28)
(7.29)
(7.30)
7. Устранение всех обрезаний
155
сматриваемой области (эти свободные г. у. отличаются от "свободных
граничных условий" раздела 4 для решеточных моделей);
2) смешанные г. у.: нулевые г. у. Дирихле со свободным виковским
упорядочением для полей материи, свободные г. у. для калибровочного поля
(обозначаемые символом Dm); нулевые г. у. Дирихле для фермионных полей -
до некоторой степени обман (см. [39J);
3) смешанные г. у.: свободные г. у. для полей материи, нулевые г. у.
Дирихле для калибровочного поля (обозначаемые символом Dg).
При доказательстве оценки (7.30) для этих смешанных г. у. требуется
некоторая осторожность, так как "состояния", в которых вычисляются
средние значения оператора е~ТИ, имеют бесконечную норму (подобно плоским
волнам). Подробное решение этой задачи для модели Хиггс2 см. в [29].
Оказывается, во избежание появления бесконечностей надо потребовать,
например, чтобы L, 7^1.
Оценка снизу для смешанных г. у. получается примерно так же, как и для
свободных г. у.; снова нужна небольшая осторожность из-за бесконечной
нормы появляющихся здесь "состояний". Формально
/ -гя°м Л/С0 -гя°м о ^
Zl^T = \nL' е nLj е пь) '
(7.31)
D °D °
где Ньл - соответствующие гамильтонианы nL, tiL -
"векторы бесконечной нормы". Снова знаменатель вычисляется явно, и можно
показать, что
z^r>e'cLT- (7.32)
Собираем все эти результаты в виде следующей теоремы:
Теорема 7.10. Для L, Т ^ 1
I log Zl. т I < const • LT, (7.33)
где для модели Хиггс2 X может быть р, Dm или F, а для модели КЭД2 X может
быть ар, Dm или F.
Нам нужны будут также оценки сверху для модифицированных статистических
сумм. Они легко получаются с помощью "шахматной оценки" (см- теорему 2.2)
и связанной с ней техники. Эта техника работает наилучшим образом для
ненормированных средних значений экспоненциальных функций. Введем два
определения.
166 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Определение 7.11. Для модели Хиггс2
7^ , - -у-У //¦ I Ф Р- (g)+-f №)\
h; Л - \ь д.
Определение 7.1 Г. Для модели КЭД2
уХ _ 7Х/ Л, Вф) + лй)\
^В. Л| Л - ^Л \б Д.
Здесь g,h - пробные функции с носителями в А; В - оператор конечного
ранга на TF, так что
N
("Ф. Вх\>) = S 'Ф Ы Ф (/;)
г = 1
для соответствующих (спшюрных) пробных функций с носителями в A; F =
вцудцЛу ~ (эвклидова) напряженность поля. Справедлива следующая теорема:
Теорема 7.12. В модели Хиггс2
1о§ I Zi Л: L, т | < cLT + а (II § 111 + II g l|) + j II h II] + b
(7.34)
для X = D л, F или р. В модели КЭД2
log | Z* h. Ьз т | < cLT + -L || В ||, + -j-11| h ||* + b
(7.340
для X = Dm, F или ар. Здесь a,b,c - постоянные, не завися-
щие от L и Т.
Доказательство. Ввиду аналога оценки (7.30) для модифицированных
статистических сумм достаточно рассмотреть случай Х = (а)р; для этого
случая "шахматная оценка" теоремы 2.2 или, точнее, ее предельный вариант
дает для Хиггс2
log |Zl, h-, l, т | < ^ d2x log Z|x, hx-, l, t, (7.35)
где gx (cootb. hx)-постоянная функция на Л с (единственным) значением
g(x) (соотв. h(x)).
Универсальное слагаемое (1/2) ||/г [| в (7.34) возникает из так
называемой инфракрасной оценки (см. [32]). А именно, запишем
eFWdm(A) = elimh&- xdm(A + a(h)), (7.36)
где a(h) удовлетворяет уравнениям
*WVv (h) = h - Ъ2 (- А + Ъ2)_1 dnan (h) = 0, (7.37)
а
ЦА11г,х=(А. (1 -^АГ'/г),
7. Устранение всех обрезаний
157
Следовательно, временно вводя ультрафиолетовое обрезание t, мы можем
написать
е (1/2,,|Л ^Zg, л-, l,t = lim ( dmt (.4) Zg; L, т (A-a\h)) eF'L< T,
(7.38) t-> о J
где Zg-, l, т (4) - статистическая сумма полей материи во внешнем поле 4.
Из диамагнитного неравенства и его доказательства (теорема 2.6 и лемма
2.9) следует, что Z|: z., г(Л) есть непрерывный предел положительно-
определенных функ-
гФл с \
дни от операторов голономии е " . Следовательно,
dmt (A) Zg; L, г (.4 - a (A)) | < 5 Zl, l, т (Л) dmt (4), (7.39)
и из (7.38) и устойчивого разложения вытекает, что
I Zi h-L,T | < ехр (у II h II2 J Z% 0; r. (7.40)
Отметим, что || h |f A ^ || h
Чтобы понять, как появляются в (7.34) нормы ||g||i, ||g'||2, нужно
обратиться к лемме 7.7 и посмотреть на зависимость от 6т2. Эта лемма
говорит, что для больших g(x) (например,
1)
14,^.гИ)|<о(еСОП8'-йи)г)-
Подставляя эту оценку в устойчивое разложение, получим (ср. [29]) для
g(x)2 ^ 1
\Zgx,o;L. rG4)|<econst'sW3ir (7.41)
(здесь для Zgx> о; l, г мы также применили теорему 7.10).
С другой стороны, легко видеть, что log | Z\v о; l, т | - выпуклая
