Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
7. Устранение всех обрезаний
165
Следствие 7.22. Для функций Швингера в бесконечном объеме
/ m -JL \
gm+n (gl.....gm; lh......К) = Щ -\ф\2' (gk) П {iF (h,))J
выполнены все аксиомы Остервальдера - Шрадера, кроме, быть может, аксиомы
кластерное(tm).
Доказательство следствия 7.21. Это вытекает из теоремы 7.19 и
независимости предела от последовательности (Ля) . ?
Доказательство следствия 7.22. 0. Нулевая аксиома, состоящая в требовании
некоторой умеренности роста, следует из (7.59).
1. Симметричность очевидна.
2. Эвклидова инвариантность вытекает из следствия 7.21.
3. Положительность по Остервальдеру - Шрадеру устанавливается с
помощью решеточной аппроксимации (здесь нужно соблюдать известную
осторожность при обращении с рассматриваемой гауссовской мерой, см.
[28]). О
То, что мы построили, в действительности пока еще не соответствует модели
Хиггс2 из-за наличия "фотонной массы" X. Ее также можно исключить с
помощью корреляционных неравенств. Действительно, когда X2 убывает,
трансверсаль-ная часть ковариации Dвозрастает; продольная же часть к делу
не относится ввиду калибровочной инвариантности взаимодействия между
полями материи и калибровочными полями.
Таким образом, в силу корреляционных неравенств пункта 2d, (g-
:Ui2:(g)+f(ft)^ убывает при Я,2-^0 (для g ^ 0), и нам нужна только оценка
сверху.
Это нетривиально, потому что при Я2->0 ковариация становится плохо
определенной из-за инфракрасной особенности. Причины, по которым оценку
сверху всё же удается получить, состоят в следующем: 1) благодаря
корреляционным неравенствам можно перейти к конечному ящику; 2) там
опасная нулевая мода ковариации является изолированной и не
взаимодействует с другими в силу тождества Уорда (т. е. в силу
калибровочной инвариантности взаимодействия). Этот замечательный факт
служит намеком на действие механизма Хиггса, ответственного, как
предполагается, за образование массовой цепи. За подробностями довольно
хитроумного доказательства отсылаем читателя к [29]. Мы же просто
формулируем теорему:
Теорема 7.23. Пределы при Х2->0 функций Швингера, указанных в следствии
7.22, существуют и удовлетворяют всем
166 4.II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
аксиомам Остервальдера - Шрадера, за исключением, возможно, аксиомы
кластерное(tm).
Замечание. Для получения кластерного разложения, которое полностью
вскрыло бы механизм Хиггса указанием на существование массовой щели,
требуется (по крайней мере в хиггсовском режиме) глубокое понимание роли,
которую играют классические решения (инстантоны) - в данном случае так
называемые вихри [49, 50] -или, по меньшей мере, топологические
возмущения, лежащие "близко" от этих вихрей. Это - важная проблема,
решение которой может пролить некоторый свет па роль классики и топологии
также в других калибровочных квантовых теориях поля.
Обратимся теперь к КЭД2 и дадим набросок кластерного разложения для этой
модели. Оно даст нам аксиомы Вайт-мана плюс существование массовой щели
для калибровочно-инвариантных локальных полей. Непрерывные кластерные
разложения были введены Глиммом, Джаффе и Спенсером [38] и применены к
фермионным моделям (Юкава2) Магне-ном и Сенеором [46], Купером и Розеном
[39] и другими. Эти разложения вписываются также вполне естественно в
общую полимерную схему, развитую в разделе 3 (ср. [61, 52]). Они вообще
хорошо работают в теориях, которые являются слабыми возмущениями
массивных свободных (т. е. гауссовских) моделей.
В непрерывном случае невозможно построить разложение по всем связям,
связывающим пары точек, ребер и т. д. Вместо этого используется тот факт,
что свободные средние полностью характеризуются функциями Грина
(ковариациями); если заменить их модифицированными функциями Грина, в
которых различные квадраты (кубы, гиперкубы) покрытия пространства Rd не
взаимодействуют, то соответствующие возмущенные гауссовские средние также
не будут связаны.
Этого можно достичь, например, выбором нулевых граничных условий Дирихле
на границах квадратов (кубов, гиперкубов). Если отождествить каждую грань
квадрата и т. д. с ребром двойственной решетки, то становится очевидным,
как имитировать кластерное разложение раздела 3. Погрешность разложения
определяется разностью между модифицированной и исходной функциями Грина;
полимерами будут связные множества ребер двойственной решетки, или, что
эквивалентно, связные множества граней квадратов (кубов, ...)
первоначального покрытия.
Чтобы активность z(y) такого полимера у была малой величиной порядка e~bm
(b велико), нужно, чтобы
7. Устранение всех обрезаний
167
1) разность между средними для взаимодействующего и
невзаимодействующего случаев была малой; это условие выполняется, если
лежащая в основе свободная теория имеет большую массу, т. е. сильное
экспоненциальное убывание;
2) рассматриваемая теория была близка к гауссовской. Размеры покрытия
выбираются так, чтобы сделать сходимость наилучшей.
Для модели КЭД2 условия 1) и 2) выполнены, если е/М <С 1, где е - заряд
