Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
функция от g(х), и, следовательно, для |g(x)|^ 1 (см. [29])
I Z\X, 0; L.T I < econsH й w 1 LTZ\ о; l, т (7.42)
Из этих двух фактов и вытекает (7.34). Для КЭД2 приме-
нима аналогичная стратегия:
Лемма 7.13. Пусть
Z7-, L, т = detren (1 + (4)) (ехр {'ф, (А),
где <-)f(4) обозначает среднее по фермионным полям во внешнем
калибровочном поле (в предположении что оно ограничено и непрерывно по
Гёльдеру). Тогда
|^и,г(Л)|<ехр IIЯ ||i). (17.43)
158 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Доказательство. Мы можем написать
Zf- l, т (А) = detren (1+ Kf + GfB)
= detren (1 + Kf (Л)) • det (1 + KfG'fB)
~ detren 0 + KF (Л)) - det ^ 1 + 2 giG'pf^j ¦ (7.44)
Первый множитель ^ 1, второй множитель в силу хорошо известного
неравенства j det (1 + А) [ ^ ехр |[Л [[! ограничен величиной
N
ехР (ж11 в 1,1)= ехр (ж Z 11 h1,211 gi
Снова надо подставить это в устойчивое разложение. Как и в случае модели
Хиггсг, получим
,zap/i; Т = Ит г {А) ^ ьт{А__а {h)) /L, Г.
t-+ О J
По лемме 7.13 выражение под знаком предела ограничено величиной
\dmt(A)e{limB\<^e{limB^+<r, (7<45)
Подстановка этой оценки в устойчивое разложение дает
| Z^g, hi L, т1<е^>\\Ы11+(ЦМЯВК + Ь + сЬТ {7М)
(здесь также применяется теорема 7.10). Это и есть доказываемая оценка. ?
Теперь мы хотим внимательнее изучить постоянную с из теоремы 7.10. Наша
цель - показать, что ее можно выбрать следующим образом:
с=== Иш Гг [°8ziT^ai <а^)р- (7.47)
L, Т -> оо ^1
Для .Х = (а)р это следует непосредственно из шахматной оценки и того
факта, что в существенном убывает
по L и Т.
Для X = F это можно доказать методом из работы [18], состоящим в простом
применении неравенства Шварца к скалярному произведению Остервальдера -
Шрадера (и теоремы Рее-Шлидера [47]) и дающим неравенство, которое может
быть названо "шахматной оценкой для свободных г. у.". Тем.самым мы
получаем следующую теорему;
7. Устранение всех обрезаний
169
Теорема 7.14. В модели Хиггс2 log | Z* А; , г | < с? (LT-\) +а (|| g II]
+ || g II,) + 11| h ||] + с.
(7.48)
В модели КЭД2
log \Ц, ft; t, Г | (1Т - i II в II. + ТIIА Ц + с
(7.48')
для Х = (а)р, F, при условии что носители функций g и В лежат в единичном
квадрате А. (Это, конечно, означает, что
N ч
носители функций gt, ft лежат в А, если В= У ft (r) gt. )
г=1 /
Из этой теоремы вытекает не зависящая от объема оценка нормированных
средних:
Следствие 7.15. В модели Хиггс2
|^:UI^-(gHF(^r|<e(l/2)P||]e"(l|glI^ILff||1)-a^+C) (7>49)
в модели КЭД2
| BV+F(h)^X т | ^ е<1/2) || h n|e(l/Af) IIв II, -a* + с ^д,
для X - (а) р, F; у g и В носители лежат в А.
Доказательство. Это вытекает из теоремы 7.14 и зави-
сящих от объема оценок статистических сумм. ?
Тем же методом получается
едствие 7.16
+ f (А)^
Следствие 7.16. В модели Хиггс2
>* I
/L, т!
< c0e{imh^ea Ы+м§е(-а*+с)1 suppgl, (7.50)
в модели КЭД2
I/ (ф, BA>)+F(h)\X I (1/2)^112 (Ь-'ЛГШВЦ, (-a^+c) Isupp B|
j \& /L, T \ ^5; &Ф & &
(7.50')
для X = (a) p, F.
В модели Хиггс2 можно с помощью одного весьма простого приема избавиться
от неприятной зависимости от носителя.
160 Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Рассмотрим на R+= [0, оо) функцию
J7 /Л 1 I/ '1^ I /7 г-< \
^(/)s=log|y? Дг |. (7-51)
Непосредственно видно, что ома непрерывна и выпукла на [0, оо) и
/40)<(l/2)M + jOgr0,
lim 1 F(/) < а (|| *||.+ || *11*).
t-> ОО
Из этих свойств вытекает, что
F (t) < ta (|| g ||, + || g II,2) + ~\\h | + log c0. (7.52)
Если положить (ср. [29])
IMI^EllgXilb, (7.53)
где А пробегает покрытие плоскости !R2 единичными квадратами, то мы
видим, что
I/ ¦.\Ф\2-ЛЯ)+Р(11)\Х 1^ (1/2)11 ft||2+a|||g||l2+a
IV д,г|ч? " , (7.54)
поскольку III gill >[| glli, III g III2 XI g llj и 1 + III g||2 <
шах X
(III gill. Ill gill2)- С помощью аналогичного приема можно ис-
ключить также множитель Сова.
Для модели КЭД2 надо использовать другие соображения. При помощи
неравенства Коши можно вывести из (7.50) оценку
I ' / = 1 / = 1 ' L, Т
< с0аЛ'е( 1/2)11/11,2 Д j gr/д. ||2 Д || f дА/1|2. (7.55)
i := 1 /=1
Разлагая экспоненту е(^> и используя соотношение
N N
(¦ф, вф)=J] ^^ =S Е ^ ^
i = 1 i-l д,д'
7. Устранение всех обрезаний
161
получаем, что
< c0e<1/2,l,/,,l2exp ||| gt ||| ||| /{||| j (7.56)
с ,!|-!!|, определенной в (7.53).
Окончательно мы имеем следующие оценки, не зависящие от объема:
Теорема 7.17. В модели Хиггс2
для X = (а)р, F.
Замечания. 1. В [29] при помощи подобных методов, а также корреляционных
неравенств оценка (7.57) доказана и для X = Dm. Ее можно также вывести из
приведенных выше доказательств, используя один аналог шахматной оценки,
справедливый для г. у. Дирихле, и тот факт, что периодическое "давление"
аР, мажорирует все "давления" а* с другими г. у. (ср. (7.30)) •
2. Теми же методами нетрудно доказать, что для модели Хиггсг
8
(1/2) ]\h\\l+a III g |||2
(7-57)
в модели КЭД2
r| ^ ce^m\h\^+{\ I m2)m2\\s\\2
а для модели КЭДг
где /ц = :
162 Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
3. В силу неравенства Коши, из (7.57) и (7.57') вытекает, что для
