Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
предположения, не являющиеся неразумными и позволяющие да-
176 Ч. П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
вести до конца конструкции, которые мы сейчас представим. Вероятно,
подобные результаты можно получить и при более общих предположениях,
однако ценой гораздо большего числа человеко-часов.
В принципе каждая петля Вильсона имеет некий индекс т, указывающий тип
представления группы, но я буду его опускать. Всегда предполагается, что
петли по меньшей мере кусочно-гладки. Назовем
п-петлевой функцией Швингера.
Вот наши предположения относительно Sn, грубо говоря, параллельные
аксиомам Остервальдера - Шрадера [4]:
(50) Технические предположения.
(51) Симметричность.
(52) Эвклидова инвариантность.
(53) Положительность по Остервальдеру - Шрадеру.
(54) Кластерность.
Замечание. Если имеются "барионные операторы" ("звёзды"), то, конечно,
(S1) должно быть видоизменено в соответствии с ферми-статистикой.
Теперь сформулируем более подробно эти предположения и объясним, почему
мы считаем их правдоподобными.
(SO): а) 5о=1, Sn определено для кусочно-гладких петель.
Ь) В некоторой подходящей топологии Sn непрерывно зависит от Си ...,
Сп. В случае d = 4 такой топологией могла бы быть следующая.
Определим на множестве параметризованных петель функцию расстояния с
помощью формулы
d(x(-), х'(-)) = \\х - х'\\2 + \]х - х'\]2 + \\х + х'\\2, (8.4)
где точка обозначает производную по s. В случае когда петли имеют точки
излома, последний член в (8.4) интерпретируется так: если х- х' содержит
б-функцию, то по определению d(x(-), х'(-))= оо.
Если теперь отождествить кривые х(-) и х'(-), совпадающие как множества
точек (запись: х(-)~х'{-)), то ясно, что множества {•?(•) |*(-) ~ *о(-)}
замкнуты и поэтому определена фактортопология.
Замечания. 1. Причина выбора этой топологии состоит в следующем. В
четырехмерной теории свободного электро-
(8.3)
8. Общий подход к теории нелокальных объектов
177
магнитного поля (КЭД4, t) можно явно построить петлевые средние.
Формально
log (W (С)) = - J dx* J difDiiV (.v - у). (8.5)
с с
Для того чтобы это выражение было корректно определено, нужно произвести
перенормировку, т е. формально вычесть некоторую бесконечную константу
(приближенно пропорциональную |С|). Но простая проверка показывает, что
каждая точка излома делает необходимой сверхперенормировку, зависящую от
величины угла излома. После перенормировки (8.5) не может быть
непрерывной в топологии, в которой (^-гладкие петли сходятся к петлям с
точками излома. Вот
(8.4) и предотвращает это, и нетрудно видеть, что (8.5)
(перенормированное) действительно обладает нужной непрерывностью (см.
Поляков [54], Фрёлих и др. [55]).
2. Если выбрать более сильную топологию, например потребовать, чтобы
Sn было непрерывно лишь относительно эвклидовых движений петель как
твердых тел, то в результате физическое гильбертово пространство (см.
ниже) может стать неприемлемо большим (несепарабельным). Заметим, что с
нашей топологией пространство петель сепарабельно.
3. Ввиду асимптотической свободы кажется правдоподобным, что эти
рассмотрения годятся также и для КХД4-теорин.
c) Пусть С(r)1' - сдвиг петли С; на вектор a,CHr<d и dn(fa\1' •••> С"")
- минимальное эвклидово расстояние в Rd между этими петлями. Тогда
существуют постоянные Кп, с", р, такие что
|5"(С?>, 0)|<^ехр(САР> (8'6)
где р не зависит, а Кп и сп могут зависеть от выбора петель (но, конечно,
не от векторов а\, ..., ап).
Замечание. Анализ примера КЭДй, f-теории и соображения асимптотической
свободы приводят к такому предположению: р = 0 при d = 2; р сколь угодно
мало при d = 3; р = 1 при d = 4.
d) Выберем направление, называемое "временем", и определим временное
расстояние dt между любыми двумя петлями С, С' формулой
78
Ч. П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
(см. рис. 20). Тогда существуют "постоянные" Кс, в (т. е. функции от С и
е > 0), такие что
|S"(C" CJ|</Cc,,e - Ксп.е, (8.7)
если dt (Ci, Ck) ^ e для всех г, k - 1, ..., п.
Замечания. 1. Разумеется, Кс, е будут расти при е->0 со скоростью,
описанной в с).
2. Оценка (8.7) выражает свойство типа кластерности; главное состоит в
том, что Кс, е не зависят от п.
3. Для решетки оценка (8.7), конечно, выполнена. Если, как полагают,
непрерывные петли Вильсона нуждаются только в индивидуальной
мультипликативной перенормировке, то (8.7) выполняется.
4. Оценка (8.7) выполнена для КЭД^, f-теории. Если верен механизм
появления массы в КХД-теории, то (8.7) заведомо выполняется.
5. В скалярной теории поля оценка (8.7) соответствовала бы очень
слабой форме ^-оценки и означала бы, что
е~гНф (х)
есть ограниченный оператор. Во всех существующих теориях справедливы
гораздо более сильные оценки.
6. Оценка (8.7) выполняется (тривиально) для двумерных моделей,
которые мы обсуждали выше. В этом случае
*С.е = Ъ (ID-
УСЛОВИЯ (SI), (S2) не нуждаются в комментариях, за исключением одного уже
сделанного замечания относительно ферми-статистики "звёзд" В (С).
