Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зайлер Э. -> "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой" -> 61

Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.

Зайлер Э. Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой — М.: Мир, 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnieteoriisvyazi1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 76 >> Следующая

0 0 о PtPs Ф = Ps+tW
о
3) Рt симметричен для каждого t ^ 0.
о
Тогда операторы Pt допускают единственное самосопряженное расширение Pt и
{Pt}t>о есть полугруппа самосопряженных операторов в Ж.
Отсюда немедленно вытекает
Следствие 8.4. Существует единственная группа самосопряженных операторов
{Pa}aeR, такая что Ра является расшире-
о
нием Ра при [a|<a0.
182 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Замечание. Группа {Р"}ПбР задает представление не самой подгруппы Я, а ее
универсальной накрывающей (изоморфной R).
Теперь мы можем, конечно, аналитически продолжить группу {Ра}. Запишем
Ра^еаВ (8.12)
(в действительности доказательство Фрёлиха проводится путем построения
оператора В) и назовем В генератором буста в выбранном направлении.
Унитарные бусты определяются тогда как е1аВ, и для того, чтобы явно
выразить зависимость от направления, мы пишем
gta В
Разумеется, у нас имеются также унитарные сдвиги по времени eitH, так что
мы получаем кандидаты для унитарного представления каждого элемента (а,
Л)е^+, беря соответствующие произведения трансляций, вращений и бустов.
Что пока не ясно - это имеем ли мы на самом деле представление. Легко
видеть, что наши генераторы образуют самосопряженное представление
алгебры Ли группы Пуанкаре. Однако хорошо известно, что для того, чтобы
экспоненты образовывали представление группы, необходимы некоторые
дополнительные условия (см. [61,62]). Проверить эти условия трудно.
Поэтому мы пойдем другим путем. Мы уже знаем, что имеется "смешанное
локальное представление" группы Е# в Ж, т. е. некоторая окрестность
элемента 11 допускает представление, вообще говоря, неограниченными
операторами в гильбертовом пространстве Ж, имеющими область определения
Тс0. е. Наш план состоит в том, чтобы с помощью аналитического
продолжения закона группового умножения получить унитарное представление
группы Это требует
известной аккуратности, так как мы не можем произвольно продолжать по
всем групповым параметрам.
Начнем с однородной подгруппы SO(d) группы Ed-
Пусть g - o{d)- вещественная алгебра Ли группы SO(d),
\) = o(d-1) - ее подалгебра, соответствующая пространственным вращениям,
и ш - векторное подпространство в д, порожденное генераторами остальных
вращений (которые выше были названы мнимыми бустами). Очевидно, что
[$, ЭДсгТ), [5, m]crm, [m, m]czfj. (8.13)
Замечание. Соотношения (8.13) означают, что пара (д, Ъ, о), где а равно -
1 на ю, +1 на \ и линейно, образует так называемую симметрическую алгебру
Ли (см. [63]).
8. Общий подход к теории нелокальных объектов
183
Структура (8.13) необходима для любого аналитического продолжения
представлений.
Если мы заменим в (8.13) m на гш, то получим соотношения, задающие другую
вещественную алгебру Ли, называемую д*. В нашем случае это o(d- 1, 1).
Нам понадобится несколько простых утверждений.
Предложение 8.5. Каждый элемент g из достаточно малой окрестности U
единицы группы SO(d) = G можно единственным образом представить в виде
g' = exp(^F)exp(sZ), (8.14)
где X е f), Fe nt.
Замечание. Здесь мы записываем экспоненциальное отображение, как это
принято у математиков (без t).
Доказательство. Если U достаточно мало, то g принадлежит ровно одному
смежному классу (правой орбите) gH, где Н = SO(d- 1).
G/Н является главным расслоенным пространством (см. приложение) с
канонической связностью [63]. Геодезические имеют вид {exYH}|Т)<е (Y е
nt). Если U достаточно мало, то существует ровно одна геодезическая
{exYH}0 <т^ г, которая соединяет точки 0= ИЯ и gH и целиком лежит в U,
причем (при фиксированном У) значение t, для которого etYH = gH,
определяется однозначно. Элемент e~tYg принадлежит Н, и его можно
записать в виде е$х, где Xeg. ?
Чтобы не усложнять обозначений, мы в дальнейшем не будем различать
элементы алгебры Ли и представляющие их операторы в гильбертовом
пространстве Ж.
Предложение 8.6. Подпространство @ = состоит из
аналитических векторов для операторов из т.
Доказательство. Это следует из того факта, что каждый вектор фей) лежит в
области определения операторов e±tY для всех Fgiih всех достаточно малых
t. ?
Предложение 8.7. Существует плотное подпространство &)', состоящее из
аналитических векторов для всех X е д.
Доказательство- Пусть г|зей), т - неприводимое унитарное представление
группы Я (конечномерное, так как Я компактна) и Рх - проектор в Ж на
подпространство этого представления. Мы утверждаем, что - аналитический
let 4.II. Непрерывные калибровочные квантсеые теории поля
вектор для всех Y е т. Действительно, Рх можно явно записать следующим
образом (см. пункт 2Ь):
Рт'Ф == dx J dl4x{h~l)hф, (8.15)
Н
где dh- нормированная мера Хаара на Н. Следовательно,
со оо
k-0 k~0
ih
x,d)a? ~ii((ad/0(n)^n.
t~o
Этот ряд сходится для достаточно малых t, поскольку г]з - аналитический
вектор для операторов adh(Y). Очевидно, что Pz\p - целый аналитический
вектор для операторов из !). ?
Теперь мы можем перейти к построению аналитического продолжения.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed