Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
где
lm{zi - zl+x)<=V+, 1= 1, 2, ..п- 1, Imzk<=V+,
Применяя ко всем аргументам и контурам преобразование буста ееР'ви
используя некоторые соображения комплексного
анализа (см. [55]), можно показать, что эта функция действительно
аналитична. Если мы возьмем е > 0, то Ci будет стоять перед С2, а если е
< 0, то наоборот. Однако в силу лоренц-инвариантности функция не меняется
под действием
буста ееР'в. Устремляя затем е к нулю и используя непрерывность, мы
видим, что можно переставить Сi и С2- ?
Как уже было сказано, основная роль такой локальности заключается в том,
что она приводит к быстрому убыванию усеченных функций Вайтмана в
пространственно-подобных направлениях, и, следовательно, из теории Хаага
- Рюэля вытекает существование сильных асимптотических пределов (in- и
out-состояний), при условии что спектр энергии-импульса содержит
изолированный однополостный гиперболоид ("верхнюю массовую щель").
Поскольку это хорошо известно (см. [47,66, 78]), мы лишь сформулируем
результат:
V при е > О,
V_ при е < 0.
Im zk+x е= V_.
t-О
Рис. 24.
Теорема 8.15. Если спектр (Н,Р) содержит изолированный
однополостный гиперболоид, то мы получаем сильную сходи-
192 Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
мость асимптотических состояний и изометрических операторов Мёллера Q*.
Соответствующая S-матрица Q+Q-* является, вообще говоря, лишь частичной
изометрией. Если известно, что рассматриваемая теория обладает
асимптотической полнотой, то 5-матрица является унитарным оператором.
Эта теорема, конечно, не слишком удовлетворительна, однако дело здесь
обстоит не хуже, чем в обычной квантовой теории поля. Имеются методы
доказательства существования верхней массовой щели [67,76], и в принципе
можно применить их и в нашей ситуации (наверное, полезно было бы
попробовать их на решеточных калибровочных теориях). Ничего не могу
сказать об асимптотической полноте, кроме того, что я надеюсь, мир не
похож на "black flag roach motel" ("the roaches check in, but they don't
check out")1).
В этом кратком обзоре мы хотели лишь показать, что динамика, основанная
на калибровочно-инвариантных протяженных объектах, выглядит ничуть не
менее разумной, чем динамика, основанная на обычной квантовой теории
поля. И существует по крайней мере некоторая надежда, что в размерности
d~ 4 калибровочно-инвариантные объекты построить немного легче, чем
квантовые поля.
Ловушка для тараканов фирмы Black Flag под названием "Тараканий мотель".
"Тараканы прописываются, по не выписываются" - фраза из рекламного
проспекта к ловушке. -Прим. ред.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЕОМЕТР! 1ЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Характерной чертой калибровочных теорий является то, что в каждой точке р
рассматриваемого пространственно-временного многообразия М имеется
пространство внутренних симметрий 3. Это либо группа Ли G (если мы имеем
дело с самим калибровочным полем), либо векторное пространство, на
котором действует группа G (если мы имеем дело с полями материи). Если
взять'некоторую открытую окрестность U точки реМ, то пространство В, в
котором "живут" поля, имеет вид прямого произведения WX.3- Это локальное
разложение в прямое произведение называется локальной тривиализацией,
или, на языке физиков, выбором калибровки. Для разных карт U и U', таких
что U(]U'=?0, нужна переходная функция gUt Ц', которая дает связь между
калибровками в U и U'. Пусть р е U f) U'. Тогда точки (р, f)et/X"^ и (р,
f')& U' X 3 представляют собой одну и ту же точку в В, если / и /'
связаны между собой посредством Su. и'- Атлас на М (т. е. покрытие
открытыми множествами) вместе со всеми переходными функциями задает на В
структуру расслоения; 3 называется его слоем, М - базой. Если 3 = 0, то
мы говорим о главном расслоении, если 3 - векторное пространство, - об
ассоциированном векторном, расслоении. Если М нестягиваемо, например
имеет топологию сферы или тора, то В может оказаться не гомеоморфным
прямому произведению М X 3. Тогда мы говорим, что расслоение В
нетривиально. В нашем контексте такая ситуация возникает в случае так
называемых (анти)периодических граничных условий. Это означает, что
базовым многообразием М служит тор.
Понятие калибровочного поля геометрически соответствует понятию связности
в главном расслоении. Связность дает правило выбора направления движения
в расслоении В, если задано определенное направление в базе М- Можно
сказать и по-другому: связность дает правило, как поднимать кривые из М в
В, при условии что в В выбрана начальная точка. Ещё одно эквивалентное
описание таково. Касательное пространство в данной точке расслоения В
разлагается в прямую сумму касательного пространства к слою 3
(вертикальные
Приложение
направления) и его алгебраическою дополнения (горизонтальные
направления), которое изоморфно касательному пространству в точке
многообразия М. Связность - это просто (гладкий) выбор горизонтального
подпространства в каждой точке. Это горизонтальное иочпросграпегво может
