Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
можно понять, рассмотрев хотя бы С: оно ведет себя как М2 log М.
2. 0-состояния могут быть определены с помощью добавления к
лагранжиану обычного члена г'0 ^ F. Динамика такой
системы будет зависеть от 0 (ср. [13]).
3. Петли Вильсона, соответствующие дробным зарядам, удовлетворяют
закону площадей (как можно показать, используя кластерное разложение); в
случае же безмассовой модели Швингера для них выполнен закон периметра.
4. Структура частиц не вполне ясна. Если бы точка ветвления функции
G(k2) вносила дополнительный вклад в полную двухточечную функцию, то
можно было бы предположить, что в модели нет удержания, но экранированные
фер-мионы существуют как частицы. Очевидно, эти вопросы нуждаются в
дальнейшем исследовании.
5. По-видимому, кластерное разложение рассмотренного выше типа
работает и в модели Хиггсг, но только в "нехигг-совской" области, когда
е2//п2 мало (m2 - положительный массовый член для поля Хиггса) и
внутреннее взаимодействие является слабым. Тем самым остается открытым
вопрос о поведении модели в хиггсовской области. Решеточная
174 Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
теория не дает какой либо информации о фазовом переходе между этими двумя
областями.
Здесь мы закончим наше изучение методов построения непрерывных
калибровочных теорий. Как мы увидели, достигнутые до сих пор успехи
весьма ограничены. Первоначальный план удалось довести до конца (т. е. до
аксиом Вайтмана или Остервальдера - Шрадера) лишь в размерности два и для
абелевой калибровочной группы. Мы попытались тем не менее показать, что
многие промежуточные результаты имеют более общую природу и что
намечается прогресс в изучении теорий, далеких от плоского двумерного
мира [9, 16].
При построении неабелевой модели, такой как КХД для d - 2 или 3 (смею ли
я упомянуть о d = 4?), возникает, однако, другая проблема, которую нельзя
преодолеть за счет одной высокой техники доказательства оценок. Она
состоит в том, что отсутствует достаточное число полей, для которых можно
ожидать выполнения аксиом Вайтмана. Поэтому представляется естественным
поискать более широкие рамки, более приспособленные к специальным
свойствам калибровочных теорий. Этому предмету и посвящен последний
раздел книги.
8. ОБЩИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ ОБЪЕКТОВ
Хотя в некоторых случаях и удается, как мы видели, показать, что
калибровочно-инвариантные локальные поля удовлетворяют аксиомам Вайтмана,
всё равно эти аксиомы не являются, по-впдимому, самой естественной базой
для теорий типа КХД, Мы уже видели при обсуждении скейлинг-пре-дела, что
удобнее всего работать с средними значениями от объектов типа петель
Вильсона. Следует подчеркнуть, что нелокальные калибровочно-инвариантные
объекты гораздо ближе по духу к тому, что требуется в теории удержания.
Так, калибровочно-инвариантная струна
" ^ л
•S(Cxl/) = ^(x)Pec^ ${х) (8.1)
(изображаемая графически в виде пред-
ставляется естественным кандидатом для описания рождения мезонов.
Конечно, предполагается, что вильсоновы петли имеют отношение к рождению
глюонов (если они существуют) и, возможно, также мезонов, так как
состояния S(CXy)Q и W(C)Q, вообще говоря, не ортогональны.
8. Общий подход к теории нелокальных объектов 175
Существует также естественный кандидат для описания рождения барионов в
КХД-теорип (разумеется, с цветовой группой SU (3)):
В (Cxiy, Сх.ц, Cxjj) = l|)a (.V'l) 1|'й (,V2) ij'c (х3)
( ' S Л ( МЛ ( ' S Л
XVPec(tm) ЛЛр"с" ЛЛ Рес" Л.-ЫУ, (8.2)
где индексы относятся к цветовому пространству. Графически В можно
представить в виде "звезды"
Если допустить, что мы научились строить эвклидовы средние в непрерывном
пределе от таких объектов, например с помощью скейлинг-предела, или решая
уравнение Швин-гера - Дайсона, или любым другим способом [54], перед нами
неизбежно встает вопрос: а что это означает? Определяет ли это какую-либо
квантово-полевую теорию? Можем ли мы таким образом описать рассеяние
частиц?
Различные вопросы такого рода поставлены в работе [55], и мы хотим
привести здесь некоторые соображения, каким образом можно было бы дать в
сущности положительные ответы на эти вопросы, при условии что мы готовы
сделать подходящие предположения (которые, во всяком случае,
правдоподобны) относительно средних значений.
Следует подчеркнуть, что это - общая схема, которая может быть пригодна
также и для других "теорий поля" нелокальных объектов, таких как "теория
дуальной струны" [56, 57] или некоторые "модели мешка" [58].
Чтобы не усложнять обозначений, я буду всё явно формулировать только для
петель Вильсона. Иногда я буду говорить, что нужно изменить, если мы
хотим иметь дело со "струнами" или "звёздами", но в основном всё
переносится на эти случаи без изменений.
а. Предположения
Эти предположения носят довольно сложный технический характер, и вообще к
ним следует подходить критически и не считать их незыблемыми (именно
потому мы и не называем их аксиомами). Главное то, что существуют
