Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Условие (S3) хорошо известно, но мы всё же хотим дать точную
формулировку. Пусть Тф - векторное подпространство в алгебре полиномов
.С[{1^(С)}], порожденное мономами, содержащими лишь невзаимодействующие
петли. Тогда множество функций Швиигера {5"} порождает линейный
функционал 5 на Тф.
8. Общий подход к теории нелокальных объектов
179
Пусть Т± - подпространство в Уф, порожденное мономами, содержащими только
петли, лежащие в R± = {(/, х) е Rd |/^0}, и пусть 0 - антилинейпое
отображение Ул. на У-, отражающее все петли относительно гиперплоскости t
О и заменяющее все коэффициенты на комплексно-сопряженные. Тогда (S3)
означает, что
S(AQA)^0 для любого А <= У+, (8.8)
a (S4) просто утверждает, что
lim S(ABa) = S(A)S(B), (8.9)
а-> со
где Ва - сдвиг В на вектор а е Rd.
в. Реконструкция релятивистской квантовой механики
Этот пункт носит весьма общий характер. Здесь излагается теоретико-
групповая теорема реконструкции, которая опирается лишь на предположения
(S2) - (S4) (в действительности (S4) можно было бы даже ослабить). Ее
легко обобщить на другие системы, описываемые в терминах эвклидовых
средних значений нелокальных объектов (например, на "модели мешка").
Мы используем следующее определение:
Определение 8.1. Релятивистская квантовая механика состоит из
1) сепарабельного гильбертова пространства Ж\
2) выделенного вектора Q е Ж, называемого вакуумным;
3) непрерывного унитарного представления группы (универсальной
накрывающей для собственной ортохронной группы Пуанкаре), которое
удовлетворяет условию спектральности (спектр генераторов трансляций Р^
лежит в замкнутом переднем световом конусе V+) и для которого Q является
единственным инвариантным вектором.
Чтобы применить это определение к нашей ситуации, мы должны построить Ж.
Положим
/ = {Ле T+\S{AQA)^0}.
Тогда
ж^'у^Пё
- сепарабельное гильбертово пространство.
Это, конечно, стандартная вещь. Так же стандартно и непосредственно (см.
[4]) с помощью неравенства Шварца и оценки (8.6) получается, что сдвиги
вдоль положительного
180 Ч II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
направления оси времени индуцируют полугруппу положительных сжатий
{7,<}/>0 в Ж и что
Tt = e~u1, (8.10)
где Н 0. Кроме того, в Ж действует унитарное и непрерывное (в сильной
топологии) представление группы пространственных эвклидовых движений
(a,R) (т. е. подгруппы эвклидовых движений пространства Rd, отображающих
гиперплоскость t = 0 в себя).
Таким образом, речь идет о бустах.
Рассмотрим подпространство Таг!,е в У°+, порожденное мономами,
содержащими только петли, лежащие в конусе
раствора я - 2а0 с вершиной в точке х0 ~ (е, 0), симметричном
относительно вращений вокруг оси времени (см. рис. 21).
Рис. 21.
Этому подпространству соответствует некоторое подпространство Жъь, е в Ж,
а так как {e-tH} продолжается до полугруппы, голоморфной в правой
полуплоскости, то стандартные соображения, связанные с теоремой Рее -
Шлидера [47], показывают, ЧТО Жа0, ? ПЛОТНО В Ж.
Имеется окрестность U единицы группы Ed эвклидовых движений пространства
Rd, которая естественно действует на Жао,е и представляется линейными
(возможно,неограниченными) операторами. Сосредоточим внимание на
однопараметрической подгруппе НаЕа вращений в двумерной плоскости,
содержащей ось времени. Назовем Н группой мнимых бустов.
Пусть, далее, Ни н= Н f) У.
Лемма 8.2. Группа Ни допускает представление в Ж сильнонепрерывной
локальной группой симметричных (неограниченных) операторов {Ра}| а |<СТо'
определенных на Жаа, е-
Доказательство. Используя структуру группы Еа и инвариантность S, ВИДИМ,
ЧТО ДЛЯ А, В(=Та,,е
S (AaQB) = 5 (.4 (0В)_а) = S (Л0Ва), (8.11)
где Аа обозначает образ А при повороте на угол a (|a|<j < ао).
8. Общий подход к теории нелокальных объектов 181
Из (8.11) следует, что если Л <= А' П У'1 а.., р. то /11( е Л'.
Действительно, если S (Л0В) = 0 для всех В е е, то
s (A .QB) = S (Ле/JJ == о
для всех В е 7°а% F.
О
Таким образом, операторы Ра, соответствующие Пи, корректно определены в
Жа1, Е, а ввиду (8Л1) они симметричны.
Сильная непрерывность непосредственно вытекает из rpvn-
о
пового свойства и симметричности Ра, а также из условия непрерывности
(SO.b). ?
Теперь самое время привести одну замечательную теорему, которая в той
форме, как она здесь будет использоваться, была получена Фрёлихом [59].
Фактически ее можно вывести и из более старого результата Глазера [60];
другой ее вариант был доказан также Кляйном и Ландая [59].
о
Теорема 8.3. Рассмотрим полугруппу {Pt}?>0 линейных (возможно,
неограниченных) операторов Pt в сепарабельном гильбертовом пространстве
Ж, которая обладает следующим свойством: существует плотное линейное
подпространство 2D в Ж, такое что
1) для каждого фей) существует е(ф)>0, такое что ф
о
лежит в области определения Pt для всех /е[0, е(ф)] о
и, кроме того, s-lim Р*ф = ф; г-> о
о
2) если ф <=?D и s, t, s -f t e [0, e (ф) ], то Р5ф лежит
о
в области определения Pt и
