Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
фермионного поля (т е. константа калибровочного взаимодействия,
обозначавшаяся ранее g или g0).
Удобно изменить масштаб калибровочного поля: у4 i-*еА. Такая замена
переводит зависимость от е в свободном действии в зависимость от е в
определителе. Имеем
log detren (1 + Kf (еА)) = log det, (1 + Kf (eA)) - e2 Tr, Д- (A)2.
(7.65)
След Tfren^CF(A)2 можно явно вычислить (см., например, Чэллифур и
Вейнгартен [26]):
Trren Kf {А)2 = ~ 5 (б^ - -р) \{k) Av (k) Т (/г-) d2k,
_ (7.66)
где (k^^/k2)
Т (k2) = 1------Arth---------- -гд-> 0. (7.67)
k (4М2 + k2)112 (Ш2 + к2У12
Отметим, что
Т (k2) = k2/4M2 + О (fe4) для малых k2,
Т (k2) = 1 - log-jjp + О (6~4) для больщих k2.
Введем новую гауссовскую меру dm(F) для напряженности F = envdv^jj.,
добавляя квадратичный член, отвечающий T(k2) (это не существенно, но
удобно); мера dm(F) имеет среднее нуль и ковариацию С(х), задаваемую
формулой
CW -t. + rH.,/, ~°№,) (7'68)
(чтобы прийти к этой формуле, мы полагаем "фотонную" массу X равной нулю,
так как здесь она не используется).
Легко видеть, что G(k2)=C(k) является аналитической функцией в области |
Im k2\ < 4М2, и, следовательно, по теореме Пэли - Винера [33] ковариация
С(х) в существенном убывает как е~2М\хК Чтобы отчетливее выявить
аналитиче-
168 Ч, II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
скую структуру, напишем (полагая г - k2/4M2)
~ 1 + 1г Д/ТТг 'Qg -W1--- <7-6Э>
Теперь видно, что ??(&2) является функцией Герглотца (т. е. имеет
положительную мнимую часть в верхней полуплоскости) и допускает
представление Леманна - Кэллена
оо
G (k2) - 1 - J dptf)-^ (7.70)
4М1
с конечной положительной мерой rfp (ц2). Для dp выполнены Следующие
интегральные условия:
оо
5 dp ill2) = -J,
] ip(n^=(l +1шУ'
m2
получаемые подстановкой в (7.70) значений
k2 = оо и k2 = 0.
Отметим, что, как и в безмассовой модели Швингера (см. (5.20)),
гауссовское поле F с такой ковариацией является "положительным по
Нельсону - Симанзику" (т. е. возникает из некоторой положительной меры),
но рассматриваемое как обычное скалярное поле является отрицательным по
Остервальдеру - Шрадеру! Так, конечно, и должно быть, потому что, как уже
отмечалось ранее, физический смысл имеет поле Е = iF.
В модели КЭДг полная мера для поля F (в области Л) задается формулой
d\iЛ (F) = ^ def4 (1 + eKF> л (Л)) dmA (F), (7.71)
где Kf,a{A) определяется подстановкой в C?f нулевого граничного условия
Дирихле на <ЭА, a dm\ имеет ковариацию
оо
(X, у) хл (х) 6 {х - у)~ \ dp ([X2) ( - Дл + Ц2) \х, у), ш2
(7.72)
7. Устранение всех обрезаний
169
где ( - + Ц2) 1 удовлетворяет нулевому граничному ус-
ловию Дирихле на дА.
Для того чтобы показать, что мера dm\, определенная равенством (7.71), в
действительности совпадает с мерой dni\, определенной ранее, требуются
некоторые дополнительные рассуждения; это не очень трудно, но мы не хотим
здесь тратить время на эту малоинтересную задачу.
В соответствии с нашей схемой нам следовало бы сделать ультрафиолетовое
обрезание по t, но, как легко видеть (и по существу доказано в [26]),
det4 можно однозначно определить как dm а-измеримую функцию, устремляя t
к нулю. Наше устойчивое разложение показывает фактически, что det4 лежит
в О. Более того, этот определитель калибровочно-инвариантен, что
позволяет рассматривать det4(1 -\-eKp, лМ)) как функцию от F.
Как отмечалось ранее, можно рассматривать калибровочно-инвариантные
объекты типа "струн", включающие фер-мионы, которые здесь имеют следующий
вид:
< S еАц d*|j,
Gp {Сху\ F) ^ е с*" Gr (х, у, А). (7.73)
Поток электромагнитного поля можно определить, как и для безмассовой
модели Швингера, вводя внешний векторный потенциал а и беря
функциональные производные. Например,
(еиЫ Ы)Л " J det4 (1+Kf, л (А + a)) dmx (F + f), (7.74)
где f ~ Eiivd\j,ctv-
Для определения Gf и входящих в (7.73) и (7.74), использованы нулевые г.
у. Дирихле; как (7.73), так и подынтегральное выражение в (7.74) можно
рассматривать как функции от F.
Поэтому, начиная с этого места, мы ограничим наше обсуждение средними
значениями наблюдаемых, являющихся функциями от F.
Для получения кластерного разложения возьмем покрытие области Л
единичными квадратами Л и определим функции Грина, в которых разные
квадраты не взаимодействуют. Чтобы исключить какое-либо беспокойство по
поводу калибровочной инвариантности (нарушение которой могло бы испортить
всю игру), мы используем нулевые г. у. Дирихле на границах наших
единичных квадратов. Выбор г. у. Неймана дал бы более прямую аналогию с
решеточным разложением, но эти условия не столь удобны для анализа, как
г. у. Дирихле, в особенности для фермионов (см. Купер и Розен [39] ),
170 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Чтобы получить наше разложение, обозначим через С , G'{: функции Грина с
нулевыми г. у. Дирихле на всех ребрах, не входящих в множество <%. Кроме
того, положим
С (s) = I П sb П (l-s6)C* (7.76)
й с: 6 а $ 6^5?
Gv (s) = I П""П(1- sb) Gf> (7.750
