Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть {Уь ,.., Ук) - базис в га, {Zb ..., Xt} - базис в f). Существует
поликруг Р cz Ск с центром в 0, такой что отображения
f: Р-+ Ck, g: Р-" С1,
выражающие (абстрактный) групповой закон умножения
k i
... (8Л6)
голоморфны.
Если zt, ..., z*--чисто мнимые числа, то f принимает чисто мнимые
значения, a g- вещественные, так что (8.16) выражает также закон
умножения в группе G* (односвязной группе с алгеброй Ли д*).
Теперь будем опять считать {Х1}\=1, {FjjL, линейными
операторами в гильбертовом пространстве Ж и выберем
ср, ее 3)'. Рассмотрим две функции
Fi (zu ...,Zj)a (ф, ег1г! ... е^ф), (8.17)
( Д ftyt )
\ф, е1~ е'~1 г|)/.
Fn(Zi.....zfe) = \ф, е'-1 е'~1 ф/. (8.17')
Прежде всего, оба эти выражения определены для малых вещественных zi,
¦¦¦, Zk, и в этом случае они равны. Далее, F\ есть аналитическая функция
от каждого zi в вертикальной полосе
s", = faeC!lRe2V| <8}.
8. Общий подход к теории нелокальных объектов
если только все остальные аргументы г,- (г ф i) вещественны и малы.
Голоморфно отобразив эти полосы на горизонтальные полосы
S(?l) = {со,, е С 11 Im со,-1 < 2л}
(с помощью композиции отображений tg, Arth и подходящим образом
выбранного преобразования подобия), мы можем применить теорему Мальгранжа
- Цернера - Стейна - Кунце [64] и получить аналитичность функции Fi (а
следовательно, и Fu) в некотором поликруге Р с центром в начале
координат, который мы можем отождествить с Р.
Если (гь г2, 0, ..., О)еР, то
Fi {ги z2, 0, 0) = е^Ч')- (8-18)
и в случае Z\ = iy\, г2 = iy%, У\,У2^ R, мы получаем
{iyi, iij2> 0, . . ., 0) = (е~^'у,ср, е1У'г-"§) = (ф, е'У>г,ег^уп|}).
(8.19)
Я утверждаю, что в Р существует голоморфная (непрерывная вплоть до
границы) кривая z(t) с любым вещественным z(0), удовлетворяющая условию
f(z(/)) = e*f (z (0)) (8.20)
при Re t < 0.
Доказательство. Действительно, из формулы Бэйкера - Кэмпбелла - Хаусдорфа
следует, что
f(z) = z + 0(|z|2).
Поэтому в некоторой окрестности нуля отображение ZH->f(z) обратимо, и
наша кривая дается просто формулой
z(0 = f"' (Vf(z(0))). (8.21)
Используя теорему 8.3 и равенство (z (t)) = ^ехр (V 2 fi (zi (0)) Ф>
ехр ( ? gtXiJ ф) = F" (z (t)), (8.22)
справедливое для ф, if е ?Ю', мы можем аналитически продолжить FI и Fu
вдоль кривой г(t). Выбрав ее ткаим образом, чтобы
z (/я/2) = (iyu 1у2, 0, ..., 0), или, что равносильно,
И (г (0)) = f iy2, о, .... 0),
186 Ч. //. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
мы получим
Так как ЗЬ' плотно в Ш, то тем самым доказана возможность аналитического
продолжения главной части группового закона умножения в G* (мы
предполагаем, что Уь У2 линейнонезависимы, в противном случае всё
тривиально).
Для того чтобы получить полный групповой закон умножения, нужно еще
показать, что
для любых lej, Feu. Это легко устанавливается аналитическим продолжением.
Итак, мы получаем полный закон умножения в SO(d- 1,1)
(>iy\Y\gX\giy2figXi -- giY (ui, уг\ Y\, Ys)gX (yi, y%\ Yi, Ка, X%)
(8.25)
где У( ) и Х( )-функции, задающие абстрактный закон умножения в G*.
Равенство (8.25) показывает, что мы имеем представление некоторой
окрестности U групповой единицы. Разлагая "большие" элементы группы в
произведение "малых" элементов, лежащих в [/, и применяя (8.25), мы
находим, что то же верно и для всей группы. Тем самым доказана следующая
Теорема 8.8. Существует действующее в гильбертовом пространстве Ш
унитарное представление собственной ортохрон-ной группы Лоренца (или,
точнее, ее универсальной накрывающей). Оно единственным образом
определяется по представлению окрестности единицы V с= Ed,
индуцированному обычными эвклидовыми движениями в Fa", в-
Нам не хватает еще ковариантности сдвигов. Она устанавливается
аналогичным образом, и даже чуть проще. Мы опустим доказательство (см.
[55]). В результате получается
Теорема 8.9. Пусть Рц .....d- 1) - генераторы сдви-
гов, Р0 = Я. Тогда для любого А е 50 (d-1, 1) справедливо равенство
eXetyYe-X = eiy ad (ех) (У)
(8.24)
U(A) = e -
(8.26)
Так как Ро = Я ^ 0, то из ковариантности (8 26) вытекает условие
спектральности. Вакуумным вектором служит еди-
8. Общий подход к теории нелокальных объектов
187
ничная функция, которая очевидным образом инвариантна. Единственность
вакуума легко следует из условия кластерное(tm) (S4). Таким образом, мы
проверили все свойства, требуемые в определении 8.1, и доказали следующую
теорему:
Теорема 8.10. Из предположений (S2) - (S4) вытекает существование
релятивистской квантовой механики.
с. "Функции Вайтмана" и их аналитичность
Чтобы выявить смысл предположения (SO.d), рассмотрим следующий оператор
IF(E)(C) в Ш. Пусть С - петля в R+, касающаяся гиперплоскости t = 0 и
имеющая в направлении
C7J
сг
>с,
¦ t= о
О
W ГС)<Р
Ж'
Рис. 22,
оси времени размер d (рис. 22). Пусть <р - вектор из Ж, определяемый
мономом
П Г(Сг)е=Г+, т. е. Ф=[ПГ(С,)].
Тогда по определению
Г(е) (С)фз
W
(с(е. 15) Д w (Cd+2e,
1 = 1 J
(см. рисунок, который, пожалуй, понятнее формулы).
