Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Множитель (k\)p не является необходимым. Разложение, которое
мы используем, это до некоторой степени стрельба из пушек по воробьям, но
мы уж привыкли к нему в случае Хиггс2 и закроем на это глаза. В [74] я
описываю значительно более простое устойчивое разложение для КЭД2, правда
при условии, что е/М <с 1.
!) См. также работу Малышева [16*]. - Прим. ред.
152 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Для фермпоиной "меры" нет неравенства Шварца, но оно нам н не нужно, так
как отсутствует внутреннее взаимодействие-
Будем через <-)г-, л обозначать "гауссовские" фермионные средние,
определяемые следующим образом:
(х) ъ (у))Р' А = G'f (х, у, А). (7.19)
Тогда
Г (О
}dm(AsU))z(Asit))(Kt ... KiP)F< Ае Л
Г О pS (I)
< ^ dm (As U)) | (Кi . • • KiP)Fi A\ e . (7.20)
Последнее выражение есть уже сумма фейнмановских диаграмм; некоторые из
фермиониых линий свободны (те, что идут из Ki); Другие соответствуют G,.
К сожалению, не существует иного простого пути избавиться от этой
неполиномиальной зависимости от А, кроме как с помощью неравенства
|(/p + /i+Af)'1S<-ir> (7-21)
что возможно, если ядра Вк(х,у,А), фигурирующие в представлении
k
p==Tj\Bk (Xi............. • • • ',л; л) II ^ ^ ^ (7-22)
к ( = 1
- достаточно гладкие функции (например, лежат в 9*).
Затем нужно еще выполнить операцию разрезания больших диаграмм на малые;
использование тех же самых бозонных функциональных методов, что и для
модели Хиггс2, возможно, если оценить все фейнмановские диаграммы,
включающие свободные фермионные линии GF, через диаграммы, в которых Gp
заменено "бозонной" ковариацией (-A-fm2)-1''2. Конечно, можно также
работать и непосредственно с диаграммами. В любом случае получение оценки
(7.18) требует заметно меньше труда, чем получение оценки (7.16). ?
Таким образом, для КЭД2 устойчивое разложение тоже сходится.
Замечания. 1. В такой форме устойчивые разложения, конечно, не работают
для d = 3. Однако правдоподобно, что разложение типа фазовой ячейки (см.
[35, 10]) можно заставить здесь работать1). Магнен и Сенеор [17],
скептически
¦> См. книгу Глимма и Джаффе [12]. - Прим. ред.
7. Устранение всех обрезаний
153
относящиеся к такой возможности, предлагают взамен обрезание полей
материи, которое уничтожает калибровочную инвариантность, но способствует
устойчивости; конечно, в конце нужно проверить, что обычные тождества
Уорда не нарушаются-
2. Интересно построить устойчивое разложение для калибровочно-
инвариантных объектов типа
р = Ф М (^ехр г ^ Л^ (у).
По-видимому, это можно сделать, даже несмотря на то, что ядра таких Р не
лежат в 9?.
Ь. Оценки, зависящие и не зависящие от объема
Сначала мы установим оценки вида
I logZA К const • | Л |. (7.23)
Они важны при переходе к бесконечному объему и получаются при помощи
непрерывного кластерного разложения (см. ниже и [38]), либо при помощи
корреляционных неравенств
[29].
Затем, применяя шахматную оценку и связанную с ней технику (имеющую
долгую историю в конструктивной теории поля, см. [40-44, 18]), мы получим
равномерные оценки средних значений экспонент и полиномов от поля.
В зависимости от того, какие граничные условия используются, некоторые из
оценок (7.23) могут становиться тривиальными (по крайней мере для
прямоугольников Л).
Например, для свободных граничных условий оценка снизу, содержащаяся в
(7.23), просто вытекает из положительности по Остервальдеру - Шрадеру.
Действительно, если Л имеет стороны L и Т, то
Zl,t^zHl,t (7.24)
(в очевидных обозначениях), и, следовательно,
log ZLi т
есть выпуклая функция по каждой из переменных L и Т и Zl,t>(Zlin,tim)nm•
(7.25)
Оценка сверху становится наиболее простой при (анти-) периодических
граничных условиях. Обозначив (анти-) пе-
154 4.II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
риодическую статистическую сумму через Zl?t, имеем формально
мильтониан. Чтобы доказать равенство (7.26) или хотя бы вытекающую из
него выпуклость, нужно перейти к решеточной аппроксимации; фактически
соответствующее рассуждение довольно сложно и требует перехода к
непрерывному пределу по времени до перехода к непрерывному пределу по
пространству. Подробности см. в [29]. Другое доказательство неравенства
(7.23) для КЭД2 было дано Ито [75].
Отметим, что левая часть равенства (7.26) симметрична по L и Т, хотя
числитель и знаменатель в правой части по отдельности несимметричны по L
и Т. Суть равенства (7.26) состоит, конечно, в том, что
и так как знаменатель в (7.26) легко вычислить явно и для него можно
доказать справедливость неравенства
при некотором aeR, то, используя симметричность Z{l,\ ("симметрию
Нельсона"), можно заключит!) на основании
(7.26), что
Для завершения доказательства неравенства (7.23) используется тот факт,
что след положительного оператора больше любого диагонального элемента,
откуда следует, что (анти-) периодические статистические суммы по
существу мажорируют все статистические суммы с другими граничными
