Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
хиггсовские поля как гауссовские поля следующим образом. Для каждого
/eL2(R2,FH) мы имеем гауссовскую комплексную случайную переменную фгЦ),
ЛИ-
6. Сходимость к непрерывному пределу
185
нейно зависящую от / и имеющую нулевое среднее и ковариации
(Напомним, что /2(еZd) отождествлено с подпространством в L2(Rd).)
Далее, выберем ортонормированный базис {<?а} в Тн и положим
где 6*. а - функция, принимающая значение еа в точке х и равная нулю во
всех остальных точках eZd (здесь мы должны предположить, что в > 0).
Теперь определим виковское упорядочивание (относительно свободной меры)
для мономов от фг с помощью формулы
• р\ Re фе (f)+|X Ini ^e(f).
.С .о
и разложения в ряд Тэйлора1). В частности, нас интересуют
Подчеркнем, что в (6.33) используются ковариации свободного поля.
Обозначим гауссовскую вероятностную меру, соответствующую полям фг, через
dveg!i (</>), т. е. мера опреде-
<Re фе (/) Re фе (g)) = \ Re (/, CegKg),
(im фс\1) Im f' (g)} = j Re (j, CegEg), (6.30)
(irn фе (f) Re фЕ (g)) = у Im (/, C?g&g),
что эквивалентно следующему:
(6.31)
(фг (f) Фe (gi) = 0.
(6.32)
\Ке*е(П+ц1т*е(П -(l/4)(x,2+U2)Re(f, C|f)
И
: I Ф* if) \\ = : (Re Ф (ff + Im ф (ff)\ (6.34)
: I Ф* (x) |2n:e = : (E (Re фЕа (xf + Im ф°а (*)2))\. (6.35)
Имеются в виду равенства типа
36
Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
ляется равенствами
Jf(/)dv*e=J^(/)rfv*E = 0, (6.36)
(6.37)
Из результатов пункта а немедленно вытекает, что моменты и
характеристические функции мер dv^s сходятся при е->-0. Это представляет
собой аналог упомянутого выше результата для фермионов.
Наши внутренние взаимодействия задаются с помощью "потенциала" V, который
является чётным полиномом с положительным старшим коэффициентом и имеет
степень, не меньшую 4:
V(r)=taur2k. (6.38)
k = 0
Пусть %\-индикаторная функция ограниченной открытой области Acz4d. Мы
определяем "взаимодействие в объеме Л" формулой
VA (Ф) = X ed ? a2k : | фг (х) |2\ %А (х). (6.39)
После всех этих определений настал момент сформулировать теорему:
Теорема 6.15 [28]. Пусть d = 2. Предположим, что калибровочные поля gs
сходятся к некоторому непрерывному калибровочному полю в смысле
определения 6.4. Тогда вероятностные меры
е~ V^Mdv е(ф), (6.40)
где
ZeA(g°) = [e-^dv^), (6.41)
сходятся при ё -0 в смысле сходимости характеристических функций; все
моменты также сходятся. Предел не зависит от ориентации решеток.
Замечания. 1. Здесь удобно считать, что случайные хигг-совские поля
"занумерованы" функциями из пространства Шварца ^(R2, Ун), а не из ZA
2. Используя технику, развитую Глиммом и Джаффе [35] и другими авторами
(см., например, [10]!)) для доказатель-
А также [12]. - Прим. ред.
6. Сходимость к непрерывному пределу
137
ства устойчивости модели а также результаты, собранные в данной книге,
по-видимому можно доказать эту теорему также для трехмерного случая.
Часть этой задачи решена в работе Поттхоффа [31]. С дополнительными
проблемами, связанными с различными ваковскими упорядочиваниями,
наверное, можно будет справиться, действуя в соответствии со сказанным в
пункте а.
Доказательство теоремы 6.15 мы разобьем на несколько шагов. Первый и
самый длинный шаг - это
Лемма 6.16. Если выполнены условия теоремы 6.15, то
существует для всех К ^ 0.
Доказательство. Мы можем предположить, что Я=*1. Полезный прием состоит'
в том, чтобы считать, что все поля фе для разных е определены на одном и
том же пространстве с вероятностной мерой, а именно мы будем
рассматривать их как функции от фиксированного белого шума:
Пусть - это Fn-значный белый шум на R2 и dw - соответствующая
вероятностная мера, т. е. для f, g<=??(R2, Тн)
Пусть QE - упоминавшийся ранее оператор усреднения, отображающий L2 в /2,
и
lim \ dv\e 8-> О J ё
(6.42)
и т. д.
(6.43)
Легко видеть, что
<j>e = E%
(6.44)
где
?'ЧШ = Ф(?7).
(6.45)
Таким образом, мы можем рассматривать Va (фе) как функцию Va (^) ит i|5,
причем
138
Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Для того чтобы доказать сходимость, оценим | J dw(e~^ - е_{^) | < J da; |
Кл - V* |(e~'7-v + (Г^)
< (J dw | V\ - t>8v | ){ (J dwe-2^'' + (J dwe-2^2}.
(6.46)
Сначала мы воспользуемся диамагнитным неравенством u и
оценим члены, стоящие в фигурных скобках. В силу теоремы 2.6
J dwe-'^ det (l + Кн (Ле))~'
= J dv^e~2V^ det (1 + Кн (ЛЕ))'' < J (6.47)
(левая часть -это просто Z({gxy}). Равномерная (по е) оценка правой части
(6.47) впервые была получена Нельсоном [36] и уже давно имеет для
специалистов по конструктивной теории поля такое же фундаментальное
значение, как неравенство Шварца (см. также [И]). Определитель, который
нам пришлось добавить в (6.47), был уже оценен в предыдущем пункте. Тем
самым с фигурными скобками мы покончили.
Для того чтобы установить сходимость к нулю первого множителя в (6.46),
полезно переписать V\ в виде суммы виковских мономов относительно C?gB
(они определяются формулой (6.33), в которой нужно заменить С(r) на С8Д Это
