Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
ковариации интерполирующих полей были достаточно простыми.
Контрчлен энергии вакуума будет иметь вид
?<(W J dxdy\AVi(x)Av(y)Xnilv(x-y)dmt(A), (7.5)
ЛХЛ
где IV - поляризация вакуума второго порядка. Графи-чески:
для КЭД2, (^)?для Хиггс2,
ш Г для КЭД2,
для Хиггс2.
В модели Хиггс2 появится еще массовый контрчлен для поля материи, который
для нашей ковариации с фиксированной калибровкой можно выбрать в виде
Ьт\ = 5>2 $ -4й (О)2 dmt (А) = (0).
7. Устранение всех обрезаний
145
Графически:
для Хиггс2.
Интерполированные контрчлены Е х s(t), 6т-(г) определяются аналогично.
Наконец, обозначим через с1уа{Ф) непрерывную гауссовскую вероятностную
меру со средним нуль и ковариацией
С а (х, У) = (- Ад + т2) 1 (х, у)
и положим
( detron (1 +/Сн (Л))"1 для Хиггс2, z(A)=b< ,
1 detrenf! + /Сf (Л)) для КЭД2.
Полная ненормированная обрезанная мера для модели Хиггс2 имеет вид
ZA,td^A, *(& Л)
-Va(*)+4 ""I S -ЛфРЫх+Е*
= (Л) г (Л) е A dvA (<j>), (7.6)
где Fa (Ф) = lim Fa 0?) (см. предыдущий пункт). Для КЭД2
? О
вместо этой меры можно рассмотреть " ^ (Шк (АР))-значные меры"
dmt (Л) 2 (Л) A* (Of (1 + Kv (А)) '1). (7.7)
Мы обозначаем через ZA,i ("статистическая сумма") инте-гралы от выражений
(7.6) и (7.7) соответственно и через Zp, \,t - модифицированные
статистические суммы (ненормированные средние).
Если Р - полином от хиггсовского и калибровочного полей, то
^р, л, t ~ 5 Р ^л, f (7-8)
Для КЭД2 удобно иметь дело с "низлежащей" грассмановой "мерой", входящей
в формулу Мэттьюза - Салама. Тогда если Р - полиномиальная функция
калибровочного и ферми-онного полей:
k
p = Yj \Bk(xu Хк\ Уь ..., yk\ A) JJ (-ф (x{) т() (у^), к i-1
TO
Zp, a, * = J dmt (A)z(A) X ? Tr lB^k (Gf (1 + /Сн(Л)Г')]. (7.9)
h
146 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Теперь, используя интерполирующие поля, основную теорему интегрального и
дифференциального исчисления и интегрирование по частям, получим
выражение для разности ZPi Л, * -
- Zp. a, tk_r
Лемма 7.1. Для модели Хиггс2
1 1
Zp, A, tk - Zp, Л, tk_x = J dsi ... 5 dsk J dns {k) (А, ф)Кк ... КгР,
о о
где Ки ¦¦¦> К'* - функциональные дифференциальные операторы, действующие
на Р. Они могут быть представлены графически следующим образом:
А А А
-\-'-Ф~-$-+Ф-^-Ф
А' А Аг А А
+ Ф-^-уФ Л-1>-^-ф А А А А А А А
+ :W4V:. (7.10)
Замечание. Надеемся, что эти графические обозначения будут сами собой
понятны всякому, кто знаком с фейнманов-скими диаграммами. Действие
функциональных производных может быть определено чисто алгебраически,
поскольку они действуют только на полиномы (или, возможно, на экспоненты
от полиномов). Никакого изощренного функционального анализа при этом не
требуется- Подробное объяснение обозначений дано в [28].
А' всегда означает -т-AS(d) черный ящик обо-
0sl А А
значает "? Г бт?,,, и '".А, -его производную по sr,
А А А А
обозначает, конечно, свободную двухточечную функцию
Грина поля Хиггса
7. Устранение всех обрезаний 147
Набросок доказательства (подробности см. в
[28]). Мы утверждаем, что для / < k
1 1
Zp, л, tk - Zp, л, tk_x = dsl ... dst ^ .. ,....j, (Л)
о 0
....*,.1.,,0)И)]К/ KXP. (7.11)
Это доказывается по индукции. Для / = 0 утверждение тривиально. Чтобы
перейти от / к / + 1 < к, запишем разность мер, фигурирующую в (7.11),
следующим образом:
1
S d^(d[l(sv •••¦ "ж- 1....................'........1. о)>' (7Л2)
так можно сделать, поскольку разность мер в (7.12) обращается в нуль при
Si+i = 0 в силу определения (7.4) интерполирующих полей.
Производная в (7.12) может быть получена дифференцированием действия:
д ,
0sl+1 Ц(*>....*"+.•¦¦¦)
-((r)A + f -rt + t-Ar ..................(7-13)
А Л А '
Всё остальное - упражнение в интегрировании по частям для гауссовских
интегралов; оно "сворачивает" поля, фигурирующие в (7.13), с полями,
входящими в действие. Этот процесс заканчивается, когда все выражения,
встречающиеся по пути, сводятся к сходящимся фейнмановским интегралам при
"самосворачивании" с использованием свободной гауссовской меры. Так
появляется К!+ь что и доказывает (7.11) для /+ 1.
Наконец, на последнем шаге l - k появляется выражение, указанное в
формулировке леммы. ?
По поводу аккуратного обоснования интегрирования по частям см. [28] (это
делается там при помощи решёточной аппроксимации).
Имеется фермионный аналог леммы 7.1:
Лемма 7.2. Для КЭД2
1 1
^р, л, th ~ ^р, л, tk_l ~ \ ^si • • • ^ ^ ' %\P'
о 0
148
Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
где Kk, ¦ ¦ ¦, К1 - некоторые (нелинейные) операторы, действующие на Р.
Снова лучше всего представить их графически, причем всё становится более
понятным, если выразить их через исходные фермионные средние:
Г + тт + 'AaUllvAv:. (7.14)
А' Л А' ^
Доказательство совершенно аналогично доказательству леммы 7.1, только
проще. Интегрирование по частям для "интеграла" Березина 1} обсуждается в
[74]. ?
Из этих двух лемм вытекает
Следствие 7.3. Для моделей Хиггса или КЭД2
N 1 1
ZP.A,^V = Z 5*1 ••• $dns(/)^ ... К{Р, (7.15)
