Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
i - Н теорема доказана в [28], для i - F немного более сильный результат
содержится в [26]. (Строго говоря, он не является более сильным, так как
относится к случайному полю А, а сходимость доказывается только е смысле
сходимости некоторых средних. Однако полю дозволяется быть гораздо более
плохим. Оно может быть даже обобщенным полем.)
132 4.II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Доказательство. Мы уже провели большую часть рас-суждений. Используемая
норма проще выглядит в фурье-про-странстве. А именно, она имеет вид
М11".а = М11 + Са$|Л(?) ?\k\*d?k
и, конечно, "скроена" так, чтобы обеспечить сходимость J cfkAl (k) Al
(k) X Kv (k),
где II^V - поляризация вакуума второго порядка, соответствующая
фейнмановским диаграммам
для i - И,
для i - F.
Явное вычисление показывает, что ПцУ(&) = О (log | k |) для больших k,
если i = Н, и О (1), если г = F. ?
Сказанное дает достаточные основания для выбора нужной соболевской
топологии в случае d~> 2.
Предел detren отличен от нуля, так как det3 (1 + /С" (^4)) есть функция,
обращающаяся в нуль, только если Ki(A) имеет собственное значение -1, что
соответствует нулевому собственному значению оператора ВА-\-М (или -Ал +
т2), а это невозможно, ибо
(ВА + М)* (A, -f М) 3? М2 > О
(в [15] приведен более строгий, но менее прозрачный вариант этих
соображений). В [28] получена более тонкая оценка снизу:
Теорема 6,12. В случае d = 2, 3
I detren (1 + Kt (Л))Е'|<1 для i = Н, F, ен = -1, 6F = 1.
Доказательство. Это непосредственно получается из "диамагнитного"
неравенства (теорема 2.3) предельным переходом. См. также [22]. ?
Замечания. 1. В случае d = 4 аналогичное утверждение заведомо неверно,
так как в этом случае необходим "контрчлен". В некоторой форме это было
известно уже Гейзенбергу и Ойлеру в 1936 г. [68]. См. [74], где всё это
подробно обсуждается.
6. Сходимость к непрерывному пределу
183
2. В силу самой конструкции перенормированные определители
калибровочно-инвариантны, а потому они удовлетворяют тождествам Уорда,
таким как
detail + Ki (.4)) = О
для U (\) -теории или, более общим образом,
Dji (Л) ^ detren (1 -Ь Л i (Л)) = О,
где DU(A) - ковариантная производная.
3. С помощью обобщения этих определителей, связывающего внешние
источники с аксиальными векторными токами, можно получить обычные
аномалии Адлера [53, 70, 71].
4. Близкий факт - утверждение об эквивалентности параметра 0,
фигурирующего в фермионном действии (см. раздел 1), и параметра 0,
фигурирующего в описании 9-состояний, которые определяются путем
умножения меры на множитель ехр ^(г'0/2гс) jj F^ в случае КЭДг-модели или
на
ехр ((г'/8л2) ^ Tr F Д F) в случае КХД4-модели.
Это утверждение вытекает из следующей теоремы:
Теорема 6.13'. Пусть Ае-+А в достаточно сильной топологии, так что
сходится и detren- Допустим, далее, что Л есть непрерывное калибровочное
поле с топологическим зарядом /ieZ
(т. е. ^ F - 2яп в случае КЭДг-модели или Tr ^ F A F = 8л:2п в случае
КХД4-модели ) . Тогда
em detrend + Kf (А)) = lim det (l + Kl, f (Ле)),
e->0
где Kl, f (Ле) определяется аналогично Kf, только в решёточное фермионное
действие вводится произвольный у гол 0 (см. раздел 1; случаю К? отвечает
0 = 0).
Доказательство можно найти в [71 ]. ?
Мы упоминали в предыдущем разделе, что определители могут помочь доказать
сходимость фермионных функций Грина. Это совсем просто, если использовать
тот факт, что произведение функции Грина на определитель удовлетворяет
условию Липшица:
Лемма 6ЛЗ [34]. Функция (1 -f- K)~l detp(l + К) или, более общо,
Л*((1 + ЯГ1) det, (1+Я)
34
Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
липшиц-непрерывна па Зр при наделении пространства-образа топологией
нормы.
Замечание. Л*( (1 + К)~1) - это оператор в ft-кратном антисимметрическом
тензорном произведении гильбертовых пространств Ж?, порожденный
оператором (1+/С)-1.
Мэттьюз и Салам [14] уже дали (очевидные) формулы для фермнонных функций
Грина:
G'f (X, у- А) =¦- ([р* + АЯГ1/4 (1 + Кг (А))~1 ( (х, у),
(6.28)
Gp(xp ..., xk\ yv уk\ Л)
=л* [(р!+мг11 (1+кг м"-' ]
X(*i.....xk; уи yk), (6.29)
где Gp = (ip + МУ1.
Таким образом, из леммы 6ЛЗ и конструкции detren мы получаем следующую
теорему:
Теорема 6.14. Допустим, что Ае-^А таким образом, что предел решеточных
определителей существует и отличен от нуля. Тогда решеточные фермиоппые
функции Грина
Gp(x{, .... х,- yv . . ., yk\ Ле)
также сходятся в смысле операторной нормы в Кк{ЖF) (р > d).
Доказательство. Это очевидно после сделанных выше замечаний. ?
с. Сходимость состояний (средних значений) во внешних калибровочных
полях
Для случая фермионов это только что обсуждалось в конце предыдущего
пункта, и на данном уровне рассмотрения к сказанному добавить больше
нечего.
В случае бозе-полей (хиггсовских) ситуация гораздо более трудная, так как
здесь мы обязаны допустить внутреннее взаимодействие.
Начиная с этого места, будем трактовать (решеточные или непрерывные)
