Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
есть на самом деле, так как в случае неабелевых теорий у нас нет нужной
меры- Однако в случае абелевых теорий в размерностях d - 2,3 такие меры
легко находятся благодаря следующей теореме Гарсиа [79]:
Теорема 6.20. Пусть ф(х)-гауссовское случайное поле в ограниченной
области Л. Для того чтобы типичная реализация поля была почти наверное
существенно равномерно-непрерывна по Гёльдеру с показателем а,
достаточно, чтобы функция
р (и) == sup ((ф (х) - ф (у))2)11'2
\х-у KI "I
удовлетворяла условию Гёльдера с показателем (3 > а в точке и - 0.
Доказательство имеется в [79]. Полезность этой теоремы демонстрируется
следующим результатом:
142 Ч.Н. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Следствие 6.21 [28]. Пусть d произвольно и /1р есть d-компонентное
гауссовское случайное поле с ковариацией
(An (х) Av{x)) = D^{x, у),
YJ\dkDm{k)\kf?' <о°. (6-54)
и
Тогда для любого а < |3 почти наверное существенно равномерно-непрерывно
по Гёльдеру с показателем а.
Доказательство - простое упражнение на преобразование Фурье. ?
Пример.
A*v (V = (6nv - Tq?br) е~ t > О, (6.55)
Если |3 < 1/2, то проверка условия (6.54) тривиальна. Выражение (6.55)
представляет собой ковариацию "фотонного поля" с ультрафиолетовым
обрезанием t по одним пространственным импульсам, с инфракрасным
обрезанием X и с некоторой калибровкой, близкой к калибровке Ландау.
Основное преимущество такого импульсного обрезания состоит в том, что при
этом сохраняется положительность по Остервальдеру - Шрадеру:
Теорема 6.22 [28]. Пусть среднее для системы, состоящей из калибровочного
и материального полей, определяется либо как
lim е~ Ул detren (l + Кгя (Л8)) ' dv8e (ф)
в случае двумерной абелевой модели Хиггса, либо при помощи теоремы 6.19 в
случае двух- или трехмерной модели КЭД. Тогда если Л симметрично
относительно t = 0, то среднее значение удовлетворяет условию
положительности Остер-вальдера - Шрадера.
Доказательство. По существу это вытекает из положительности ОШ на решетке
- надо только правильно организовать предельный переход. А именно, надо
ввести импульсное решеточное обрезание е для калибровочных полей, е' для
материальных полей и устремить сначала е', а затем е к нулю. См. [28]. ?
На этом завершается наше изучение "хороших" калибровочных полей. Всё, что
остается, - это снять ультрафиолетовое обрезание калибровочного поля,
затем объемное обрезание и проверить аксиомы Остервальдера - Шрадера.
7. Устранение всех обрезаний
143
7. УСТРАНЕНИЕ ВСЕХ ОБРЕЗАНИИ;
ПРОВЕРКА АКСИОМ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Ультрафиолетовое обрезание калибровочного поля было устранено для
двумерных моделей Хиггса в [29] и для КЭД2 в [26,27]; в последнем случае
мне неизвестно ни одной подробной публикации, содержащей предельный
переход к бесконечному объему и проверку аксиом, как это было проделано
для моделей Хиггса в [29]. Однако в принципе нет никаких препятствий для
этого даже в фермионном случае (фактически это должно быть даже легче), и
мы в основном будем обсуждать обе ситуации параллельно. Для КЭД2 я дам
общие контуры построения термодинамического предела при помощи
кластерного разложения, а для Хнггс2 можно использовать простые
соображения, основанные на корреляционных неравенствах.
а. Устойчивое разложение
Чтобы устремить к нулю /-обрезание, присутствующее в мере калибровочного
поля (см. (6.55)), удобно использовать так называемое устойчивое
разложение (в случае КЭД2 можно вместо этого воспользоваться одним более
простым методом [27], основанным на результатах работы [15]). Мы обсудим
модель Хиггса и по ходу обсуждения укажем соответствующие модификации
(главным образом упрощения) для КЭД2. Идея состоит просто в том, чтобы
выбрать подходящую последовательность обрезании ... -> О,
написать разложение для (модифицированных) статистических сумм вида
Z (tN) = Z (/0) + ? (Z (th) - Z (/*_,)) (7.1)
k = 1
и оценить разность между сходящимися диаграммами Фейнмана. Конечно, это
приведет к цели лишь при включении соответствующих контрчленов.
Приступим к делу. Прежде всего введем некоторые обозначения. Через
dmt (Л)
обозначается гауссовская мера, определенная на двухкомпонентных полях Ли
с нулевым средним и с ковариацией Z)?v, задаваемой формулой
t f k,.kv \ / о о' -! ~ th?
D\i4 = yVv j ^ e (P' v ^ 0, 1) (7.2)
144 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
(ср. с (6.55)). Нам понадобятся также гауссовские меры с ковариациями
(7.3)
|xv nv ' ' '
где оо - t0, tu U, ... - монотонно убывающая последовательность.
Обозначим соответствующие (7.3) меры через йпг^ЦА), Дг = 1,2, ... .
Можно отождествить dmtN(A) g произведением мер
N
Л dmik) (A), a dm. (А), с dmt . fe=i 00
Мы будем также использовать некоторые интерполирующие поля для оценки
разностей в (7.1). А именно если
- случайное поле, соответствующее мере dmw(A), то мы полагаем
А", s (/)-=• 2 V"i • • • si А*' (7-4)
i-1
(s/s[0, 1], /=* 1, 2, 3, ...).
Эта довольно странная на вид интерполяция выбрана таким образом, чтобы
