Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
ь ё J
было сделано явно, например, в [37], однако нам достаточно лишь знать,
что при этом получаются коэффициенты, являющиеся полиномами по 6С(r)е, как
об этом уже говорилось в пункте 6а. Итак, достаточно показать, что
lim { dw \ Р* - Ре (фе')\2 = 0, (6.48)
s, г'-*О J
где
РЕ:
5|бСЁге(^ Х)\!:\феГ:се dx. (6.49)
Далее, доказательство соотношения (6.48) сводится к проверке того, что
S
dwPz 0s - Ре') 0, (6.50)
1> См. раздел 2, - Прим, ред.
6. Сходимость к непрерывному пределу
139
а это соотношение в свою очередь будет следовать из того, что
dxdy | 6С'е (х, х) |; [(E°fN (х, у) | 6С% (у, у) |;
л х л
- (EsE°')n (х, у) | ЙС*8- (у, у) |'] 0, (6.51)
на основании правил вычисления гауссовских интегралов.
Раскрывая это выражение и используя несколько раз неравенство Гёльдера,
мы заключаем, что нам нужно установить LP (A X Л)-сходимость (ЕеЕс)(х, у)
(вспомните теорему 6.6, в которой доказывается //-сходимость 6С(r)е). Имеем
| (EsEe) (х, у) |"р dxdy
< (\ I (ЕЕУ (х, у) \2р dx dy}11' Q | (ЕеУ (x, y)\2p dxdy^12.
В силу диамагнитного неравенства последнее выражение равномерно
ограничено. Таким образом, неравенство Гёльдера позволяет свести задачу к
проверке L2 (Л X Л)-сходимости ядер операторов ЕгЕг, означающей .З'г-
сходимость самих операторов. Это в свою очередь следует из ^4-сходимости
операторов Ег.
Большая часть пункта 6а была потрачена на доказательство утверждений,
аналогичных "З^-сходимости операторов (?8)2. Наконец, в [28] доказано,
что отсюда вытекает нужная нам ^-сходимость Ег. Тем самым лемма 6.16
доказана. ?
Теперь нам надо показать следующее.
Лемма 6.17.
iim [ dv\e Кл > 0.
J й
Доказательство. В силу выпуклости экспоненты (неравенство йенсена)
достаточно доказать, что
J < С < оо,
где С не зависит от е. Это легко получается с помощью явного вычисления
гауссовского интеграла. ?
Для того чтобы завершить доказательство теоремы 6,15, рассмотрим
J F (ф ) с Л ихк., (6.52)
140 4.II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
где F-полином или экспонента. Сходимость (6.52) следует из леммы 6.16 и
сходимости
\\F(i>*)-FW)\2dvl?, (6.53)
которая имеет место, так как гауссовским интегрированием этот вопрос
сводится к вопросу о сходимости функций Грина. Тем самым мы покончили и с
теоремой 6.15. ?
Итак, после некоторых трудов мы получили состояние (т. е. среднее
значение) в непрерывном пределе для двумерного фермионного или
хиггсовского поля, взаимодействующего с внешним полем Янга - Миллса,
обладающим определенной регулярностью (а именно непрерывным по Гёльдеру,
что по существу эквивалентно конечности ЦЛЦоо,").
d. Сходимость средних в полностью квантованных теориях с обрезанием
калибровочного поля
Результаты предыдущего пункта легко распространить на сходимость в
полностью квантованных теориях, при условии что мера калибровочного поля
такова, что с вероятностью 1 калибровочные поля удовлетворяют условию
Гёльдера. Беда в том, что
1) корректная янг-миллсовская мера (если мы сможем ее построить),
несомненно, не будет обладать этим свойством, так что нам придется каким-
либо образом ее обрезать;
2) трудно найти обрезания, которые бы не разрушили большую часть
структуры теории Янга - Миллса.
Это было основной причиной того, почему мы сначала работали с решеткой,
как с обрезанием. Однако для абелевых полей существуют разумные
непрерывные обрезания с хорошими свойствами, ими мы и воспользуемся.
Теорема 6.18. Пусть d = 2 и dm- вероятностная мера, соответствующая
случайному полю Янга - Миллса Лй, которое с вероятностью 1 существенно
равномерно-непрерывно по Гёльдеру с показателем а > 0. Пусть {gxy} -
решеточное калибровочное поле, порожденное полем Ац. Тогда вероятностные
меры
-j- dm X Vk det (l + Кен (Л8)) ' dv*B (ф)
сходятся при е-"-0 в смысле сходимости характеристических функций и
моментов (2е, д - нормировочный множитель).
Замечания. 1. Существенная равномерная непрерывность по Гёльдеру означает
следующее. Для m-почти всех Лц су-
6'. Сходимость к непрерывному пределу
141
ществует постоянная сл, такая что
I Л, (х) - (у)! < сА | .V - у !", [1 = 0, 1,
для почти всех по мере Лебега точек х, у.
2. Если верно, что теорема 6.15 обобщается на трехмерный случай, то эта
теорема также обобщается на этот случай.
Имеется ее фермионный аналог:
Теорема 6.19. Пусть мера dm удовлетворяет условию предыдущей теоремы и d
- 2 или 3. Тогда вероятностные меры
detre"(l +K\{A*))dm,
равно как и меры
J- Ak (Gf (1 + Кг (А°)У ') detren (1 + КЬ (ле))
Si Л
(последние принимают значения в S (Ak (Ж?))), сходятся при е->-0 в смысле
сходимости характеристических функций и моментов.
Доказательство обеих теорем. Доказательство состоит просто в применении
теоремы 6.15 (и ее тривиального фермионного аналога) вместе с теоремой о
мажорированной сходимости. Равномерная оценка сверху - следствие
"диамагнетизма", который позволяет исключить взаимодействие между
материальными и калибровочными полями. ?
Следует особо подчеркнуть, что эти две теоремы выглядят лучше, чем они
