Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
г-i |) о
где Кг (reZ+) задается формулой (7.10) в случае Хиггс2 и формулой (7.14)
в случае КЭД2.
Замечание. Мы называем (7.15) устойчивым разложением.
Смысл разложения (7.15), конечно, в том, что можно доказать его
равномерную сходимость и, значит, перейти к пределу N ->- оо, если
выбрать последовательность обрезаний подходящим образом.
Сначала поговорим о модели Хиггса. Нужные оценки в высшей степени
естественны (хотя подробное их доказательство занимает страниц 20 в
препринте [29]).
Лемма 7.4. В модели Хиггс2
ZP. л, tk - ZP. л> ^ | < Ci | log tk Г Ц t] W)PeC* (,os h)2 (7.16)
при некоторых положительных постоянных С\, С2, б, г, р.
Следствие 7.5. Пусть /, = const - e~/Y (0 < у < 1) для /= 1, 2, 3, ... .
Тогда из (7.16) следует абсолютная и равномерная сходимость устойчивого
разложения (7.15).
То есть интеграла по антикоммутирующим переменным, теория которого
построена в книге Березина [15*].-Прим. ред.
7. Устранение всех обрезаний
149
Доказательство следствия 7.5. Если tj - ехр(-/>'), то
\2р'Л' *h~2p-л- **-.1
г^С^^ехр^-е XI jyS) kpkexp (C2k2y)
< С, ехр | (р + ry) k log k + C2kiy - -у ky+l |
<C, exp (- C3ky+l) при некотором C3 > 0. Ясно, что это суммируемо по k. ?
Прежде чем перейти к доказательству леммы 7.4, избавимся от оставшихся
экспонент, используя неравенство Шварца и диамагнитное неравенство:
-ул + ~6т2 С :|,,2.+в ^ dvA . (<j>)zAe л Hi ... К\Р
1/2
/ Ьт* ... \ :|
Х IS dvASKlf2VlVz{~A)e $ Л ) eEs[l)• (7Л7)
Лемма 7.4 будет вытекать из (7.17) и следующих трех лемм:
Лемма 7.6. E(su ..., st, 0,... ) ^ (log ti)2.
Лемма 7.7. ^ dvAz (А) ехр (- 2V х + б/n2 ^ : | ф |2:) ехр а2 {6т2)2,
л
если в V входит слагаемое А, ^ :(фф)2:, Х>0 (мы предполагаем это для
простоты). Кроме того,
бт5(/)<аз|1о?Ч-
Лемма 7.8. ^ dm (Л) jj dvA \Kt КХР |2 < a4^|J J W | 1°ё h \lr при
некоторых б > 0, р > 0, г > 0.
Замечание. Предположение леммы 7.7 о положительности члена 4-го порядка
не является в действительности необходимым; если самый старший член в V
имеет вид X: (фф)2А':г X > 0, то всегда можно получить оценку типа ехр
(а2 (6m2)2jv'(2'v ~^)> из которой также следует сходимость
150 Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
(фактически некоторые шаги доказательства становятся даже проще).
Доказательство леммы 7.6 состоит в простой оценке фейнмановских диаграмм
+ QO ?
Доказательство леммы 7.7. В силу диамагнитной оценки (теорема 2.6)
- 21/Л+<5т2 $ :\Ф\2-, -21/д + бт2 $ : \ф |2:
Поэтому нам нужно только оценить гауссовский интеграл со свободной
ковариацией- Если бы не было виковского упорядочения, то утверждение
леммы получалось бы заменой экспоненты
-2Кд + 6т2 $ :|*|2:
е л
на ее максимум. Но из-за виковского упорядочения это не ограниченная
функция, хотя вероятность того, что она принимает большие значения, и
очень мала. Последний факт составляет суть доказательства устойчивости,
принадлежащего Нельсону [36]. Более конкретно, запишем (положив а = б т2)
2Va = Vi + V2 4-сфЖ2: dx,
Л
Vt = Я : | ф I2: dx'j - а jj : | ф |2: dx,
V2 ^ 2Я J :| ф |4: dx - Я А :| ф |2: dx'?. л \л /
Ясно, ЧТО
V > -1 - 4 Я '
и из данного в [36] доказательства устойчивости для Р(ф)2 следует, что
dv0e-1/? < оо, что и доказывает лемму. ?
Доказательство леммы 7.8. Доказательство состоит "просто" в оценке
гауссовского интеграла, который может быть представлен как сумма
сходящихся фейнмановских диаграмм. К сожалению, эти фейнмановские
диаграммы сколь
7. Устранение всех обрезаний
151
угодно велики, и к тому же здесь нельзя обойтись без комбинаторики (так
как она ответственна за множитель (k\)p в (7.16)).
Техника оценки больших фейнмаповских диаграмм через фиксированное число
"малых" диаграмм хорошо известна в конструктивной теории поля. Для нашего
случая такая оценка выполнена в [29] не "графологическим" методом, а
методом функциональных интегралов. Результат состоит в том, что
оценивается через 0((k\)p) членов, каждый из которых есть произведение
O(k) фейнмаповских диаграмм, выбранных из определенного конечного
множества. В каждую из этих диаграмм входит по крайней мере одно
дифференцирование (по параметру s,) вдоль фотонной линии, которое
определяет "высший момент", т- е. значения t > /,¦ не дают вклада; так
как мы имеем дело с диаграммами, сходящимися как степень, это порождает
малый множитель Заметим, что диаграммы, содержащие ковариантную функцию
Грина СА, надо оценить через такие же диаграммы со свободной функцией
Грина. Последнее не вполне тривиально из-за возникающего взаимодействия,
но всё же возможно (см. [29]) и дает множители I log /д ! .
Чтобы избавиться от степени t\, можно применить общую теорему счета
степеней, доказанную в [29]
Собрав все вместе, получаем лемму 7.8, чем и завершается доказательство
сходимости для Хиггс2. ?
Обратимся на некоторое время к КЭД2. Здесь мы имеем следующий результат:
Лемма 7.9. Для КЭД2
| ¦A, tk - л, tk_, I <С, Ш/ mp ес> 1108 I (7.18)
при некоторых положительных постоянных Сь С2, б, р.
