Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
определители. Мы будем использовать формализм модифицированных
определителей и пространств &р, введенных в разделе 5. Операторы,
определители которых будут рассматриваться, будем всегда записывать в
виде
Ь. Сходимость определителей
Гн(Ле) = (С^)1/2Гг(С|)1/2,
(6.21)
где
и
ir = AegE-A*
(6.23)
(6.22)
6. Сходимость к непрерывному пределу
129
Для фермионов по аналогии с разделом 5 полагаем
К (Ле)=(с; F)3'4 (Ц + R:J + м) (&Аг - Dl+RAB~R0)+(cl F)1/4.
(6.24)
Здесь DsAt + Яде - решеточный оператор Дирака, определяемый равенством
м Е w + sF = -к Е ф (d дй + rab) ф,
а
G*, f = [(5о -f Rq + М) (/5а + Я0 + Л|)1 •
Таким образом, если обозначить сдвиг на единичный вектор решетки в -{-[^-
направлении через e'0i\ a gx хШ через g(r)" то в случае 0 = 0 мы имеем
6', + "л- = Z (4) ") _ ~ .
и и
(6.25)
Учитывая определение
лв = тг(?/р(гв)-11), (6.26)
1
/е
получаем
К + Ra* = 7 Y*1 sin ePц - L f {Л* COs гР" + cos eP^ (Л')*}
- -j Y1" {K sin ePp, - sin 8P(l UJ5,)*} + 7 ]Г (cos еРц - 1)
M-
- У sin ePM + sin еРц (Д^)*} + -у cos еРд-coseP^ (Д8,)'}.
(6.27)
В случае 0 =^= 0 нужно просто умножить Р4е и Р0 на е'0Ч Мы можем теперь
сформулировать следующий результат
о сходимости:
Теорема 6.7. Если А8 сходится к А в L°° при е -^ 0, где А - непрерывное
поле Янга - Миллса с компактным носителем, то Кн(Ае) и Кр(Ае) сходятся В
&Р для любого р~> d.
Замечания. 1. Предполагается, что все операторы действуют в Mi = L2 X У и
i *=* Н, F.
2. Условие компактности носителя можно заменить условием достаточно
быстрого (степенного) убывания. Теорема
130 Ч.И. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
и доказательство в основном заимствованы из [28], где, однако,
разбирается лишь хиггсовский случай в размерности d = 2. О близких
"фермионных" результатах см. [26].
Доказательство. Операторы равномерно огра-
ничены в (р ~> d), что нетрудно усмотреть, записав их в виде произведения
операторов, равномерно ограниченных в Эчр. Здесь опять используется
теорема об операторах вида А = f(р)g(x) (вслед за умножением в х-
пространстве на g следует умножение в р-пространстве на /), уже
примененная однажды в разделе 5 (см. [19]):
\\А\\с < const-H/IWIglU, q > 2.
Для того чтобы установить "^"-сходимость, достаточно доказать ^2р-
сходимость для операторов рУ/2> что эле"
ментарно, и воспользоваться следующей леммой:
Лемма 6.8. Пусть ||Л"- Л[|р->-0 и В" - равномерно ограниченная
последовательность операторов, такая что Вп-+В, Вп-уВ* в сильной
топологии. Тогда АпВп->~ АВ в 3fp.
Доказательство этой леммы см. в [28]. ?
Теперь должно быть достаточно ясно, как доказывается теорема 6.7. ?
Для нас наиболее интересно
Следствие 6.9. Пусть ЛЕ сходится к Л в L00 при е-^0, причем Л имеет
компактный носитель. Тогда detp (l + К\ (Ле)) сходится при 8 ->- 0 для р
> d и i - Н или F.
Доказательство. Это следует из стандартного результата, утверждающего,
что detp удовлетворяет условию Липшица в 2/р (см. [20, 34]). ?
Итак, осталось только установить сходимость выражений Тг /С? (Ле)9 в
случае q^Zd. Самое лучшее, что мы можем здесь предложить, - это провести
явные вычисления со всеми необходимыми перенормировками, что, конечно,
весьма утомительно, так как решеточные диаграммы Фейнмана - не шутка. Это
было проведено до конца во всех деталях для поляризации вакуума второго
порядка в моделях КЭД2 [26] и Хиггс2 [28]. В этих случаях результаты, не
требующие перенормировок, согласуются с результатами, полученными с
помощью других калибровочно-инвариантных регуляризаций, таких как
регуляризация Паули - Вилларса или размерная регуляризация. Необходимую
информацию относительно
6. Сходимость к непрерывному пределу
131
моделей КЭД3,4 можно получить из обстоятельной работы Шаратчандры [77].
Для полной уверенности следует либо провести все вычисления, либо указать
некоторые общие соображения для неабелевых моделей в случае d > 2. Однако
не существует никаких принципиальных препятствий, мешающих доказать
следующую теорему:
Квазитеорема 6.10. Пусть d = 4. Существуют функции gi(e) (i = Н, F),
удовлетворяющие условию gi(e)-*-0 при е->0 и такие, что
det (l -f К) (Ле)) ехр - ? {% (g*dP) - x(1))J
сходится при 8->0 к ненулевому пределу
detren (1 + Ki {А))
(который уже фигурировал в определении 5.4 для фермио-нов), при условии
что .4е А в некоторой достаточно сильной соболевской топологии.
Еще лучше была бы
Квазитеорема 6.10'. В случае d - 3 предел
lim det (1 -+- /С? (Ле)) = detren (1 + Ki (А))
Е~"0
(г - Н, F) существует и отличен от нуля, если Ае-*А в некоторой
достаточно сильной соболевской топологии.
Наконец, доказан такой факт:
Теорема 6.11. Пусть d = 2. Тогда если Аг-+А по норме
MIL, а = 1ИИ+ \ dx dy -iM(х) ~ Л{^ f
J X - у т
л X .V 1 у
для некоторого а>0 (А - носитель Ае, А), то предел lim det (l + Ki (4E))
существует и отличен от нуля (г *= Н, F).
е-"0
Замечание. Топология более сильная, чем в теореме 6.7, нужна лишь для
того, чтобы доказать сходимость поляризации вакуума второго порядка. Для
