Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
одной матрице gxy) возникает прямоугольник. Два таких соседних
прямоугольника можно объединить в квадрат, интегрируя по двум матрицам,
соответствующим общей (длинной) стороне. При этом коэффициенты снова пе-
Рис. 32. Две соседние ячейки квадратной решётки. Матрица gxy входит в
произведения gxbcyx И gxydax ПО периметру квадратов.
ремножаются, так что
(7)
Решая уравнение (5), находим
fn(L) = e~^, (8)
где L - расстояние между спинами, а из уравнения (7) следует, что
M?) = e-as, (9)
где S - L2 - площадь внутри контура.
Мы получили соответственно закон экспоненциального убывания спиновых
корреляций и закон площадей Вильсона.
В спиновых системах с d > 1 и калибровочных с <f>2 уже не удаётся
диагонализовать рекурсионное уравнение. Число переменных в распределении
вероятностей, вообще говоря, бесконечно.
Однако можно исказить системы, добавляя на каждом шаге некоторый внешний
потенциал в энергию (т. е. добавляя множитель в распределение
вероятностей) так, чтобы оно по-прежнему распадалось на произведение
функций от одной переменной (одной матрицы в случае калибровочной
теории).
Этот потенциал соответствует передвижению связи: он содержит со знаком
минус член, отвечающий одному плакету (в калибровочном случае), и со
знаком плюс - член, отвечающий другому. В результате некоторые связи
исчезают, а другие в несколько раз усиливаются.
Возникает следующее уравнение [5]:
Fxl (U) = I L (XL) Хп (U) = ( I h (L%2) In (U)fd~2' (10)
Здесь %n{U) - характеры калибровочной группы. В простейшем случае К = 2,
тогда решётка удваивается на каждом шаге.
В спиновой системе возникает точно такое же уравнение, с заменой %2-+%,
d~>2d. Таким образом, в рамках сделанных приближений d-мерные спиновые
системы эквивалентны 2с(-мерным калибровочным.
Исследование уравнения (10) показало, что при d = 4 для него выполняется
закон площадей f"(L)-vexр(-KL2), причём коэффициент К удовлетворяет
закону ренорм-группы, аналогичному (3). Вместо коэффициентов 102/121,
12я2/11 в экспоненте и предэкспоненте возникают другие коэффициенты,
отличающиеся на 20 -г- 30 %.
Рекурсионное уравнение можно последовательно улучшить, учитывая по теории
возмущений поправки от введения дополнительного потенциала. Мартинелли и
Паризи [7]
Задачи и перспективы калибровочных теорий
207
разработали правила такой теории возмущений (они добавляют потенциал с
весом 1 - е, разлагают по е и полагают е = 1 в конце вычислений). При
этом е == 0 соответствует уравнению (10), а е = 1 -точной теории.
Эта теория возмущений обобщает разложение сильной и слабой связи: в
каждом порядке сосуществуют удержание кварков и асимптотическая свобода.
3. Петлевые уравнения и l/N-разложение
В силу универсальности четырехмерной калибровочной теории в пределе
слабой связи все безразмерные величины зависят лишь от калибровочной
группы. Зависимость от параметров решёточного действия входит лишь в
общие масштабные факторы и исчезает, если выразить все масштабные факторы
через натяжение струны К-
Оказывается, что для всех классических групп SU(N), SP(N) и O(N)- с
ростом N свойства калибровочных теорий сближаются, и в пределе при N-^ оо
(при фиксированном К) эти теории сводятся к общему нетривиальному
пределу. Высказанное утверждение кажется парадоксальным, поскольку
представления этих групп вовсе не сближаются при увеличении N. С
математической точки зрения нельзя утверждать, что SU(oo) = SP(oo) = SO
(оо).
В калибровочных теориях указанное сближение происходит только для
петлевых средних - корреляционных функций нормированных инвариантных
следов ф(с) = = If (§(с))/%! (О ¦ Оказывается, неприводимые
корреляционные функции стремятся к нулю с ростом N, так что имеет место
факторизация петлевых средних
(Ф (с,) ... Ф (ck)) = (Ф (с,)} .. . (Ф (ck)) + О (N "). (11)
Такая факторизация означает, что Ф(с) является при N = со постоянной
величиной, а не случайной. Её флуктуа-тивная часть Ф-<Ф> убывает обратно
пропорционально N.
Этот важный факт был доказан (на физическом уровне строгости) с помощью
петлевых уравнений [7]. Петлевые уравнения представляют собой в общем
случае цепочку функциональных уравнений для петлевых средних, вытекающих
из исходных уравнений ГИвингера - Дайсона. Были получены и исследованы
петлевые уравнения для всех групп как в непрерывной теории, так и на
решётке (см. обзор [8]).
При N-* оо для классических групп цепочка петлевых уравнений допускает
факторизованное решение (4). Причину факторизации можно пояснить так.
Петлевое поле Ф(с) совпадает с арифметическим средним собственных
значений
208
Добавление. А. А. Мигдал
унитарной матрицы §'(с). Флуктуации среднего в у/N раз меньше, чем
флуктуации самих собственных значений (каждое из которых ограничено
единицей). На самом деле флуктуации убывают как 1 /N, а не как 1 /л/N, но
это уже доказывается на основе рассмотрения динамики.
Для предельного классического поля Ф(с) при N = оо цепочка петлевых
уравнений приводит к нелинейному уравнению следующей структуры:
