Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
следствие 6.3 и формулу (6.12)). Допустим, что для этих "малых"
калибровочных полей имеет место сходимость при е->0. Из следствия 6.3
вытекает, что функция XvCge(?pC\. аналитична в некоторой полосе, а из
(6.10) следует ее равномерная ограниченность. Для того чтобы установить
сходимость при X = 1, выберем последовательность открытых шаров Du ...,
DN, лежащих в нашей полосе, таких что центр Di+\ содержится в D; (г-1,
..., N-1) и D1 э Я0, Dn э 1. Из сходимости в Di.....Dk вытекает схо-
126
Ч. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
димость коэффициентов ряда Тэйлора в центре шара Dk+l, а отсюда
сходимость в Dk+ь
3. Выберем ||Л^|| настолько малым, чтобы разложение 5С gE>C v в Ряд
теоРии возмущений по степеням Ае сходилось в I2 (равномерно по е). Легко
видеть, что это возможно и что члены ряда сходятся к соответствующим
членам ряда теории возмущений для непрерывной функции Грина. По поводу
деталей см. [28]. ?
Существует еще одна неприятность, связанная с необходимостью вычитания
постоянных, стремящихся к бесконечности при 8->0. Хорошо известно, что в
случае непрерывного потенциала к V(\ф\) должно быть применено ваковское
упорядочение1). Формально оно соответствует вычитанию членов с
расходящимися коэффициентами, таких как С(0). Если имеется внешнее
калибровочное поле, то гораздо более удобно и вполне законно использовать
при виковском упорядочении ковариацию (или, что то же самое, функцию
Грина) С а. Именно это проделали Шрадер [30] и Поттхофф [31]. Если мы
представляем себе "квантование" калибровочного ноля как интегрирование,
то это входит в противоречие с духом теории перенормировок. В любом
случае мы получаем нелокальный неполиномиальный лагранжиан, и очень мало
шансов на то, что удастся проверить аксиомы Остерваль-дера - Шрадера.
Поэтому необходимо рассмотреть перенормированные выражения типа
6C"e (х, X) = CSge (х, х) - С(r) (*, х)
и показать, что при е-"-0 они имеют конечные пределы. Это верно в случае
d = 2, 3:
Теорема 6.6. Если семейство калибровочных полей ge сходится при е-> 0, то
^ | бС*е (X, х) - бCge' (х, х) |Р dx --> 0 л
при 8, е'-"-0 и 1 ^ р < оо (d = 2, 3).
Замечание. В случае d - 4 виковское упорядочивание не устраняет
расходимости, и необходима некоторая сверхперенормировка (это
обстоятельство не должно сейчас нас заботить, так как всё равно никто не
знает, как построить полевую
и На языке теории вероятностей виковское упорядочение соответствует
переходу от степени случайного поля, которое не всегда существует, к
соответствующему кратному интегралу Ито (см. [14*]).-Прим. ред.
6. Сходимость к непрерывному предел/
127
теорию в размерности d - 4). Типичные расходящиеся диаграммы,
препятствующие справедливости теоремы 6.6, имеют вид, показанный на рис.
19; они вносят вклад в перенормировку заряда.
Доказательство этой теоремы весьма сложно, и мы отсылаем читателя к
работе [28], в которой детально разбирается случай d - 2. Здесь мы лишь
попытаемся наметить схему доказательства.
Для того чтобы стали ясны взаимные сокращения в бСее, запишем опять g*
(А) = ехр /еАЛ(r) и рассмотрим
Первое равенство очевидно. Второе вытекает из четности функции Fx. Это
лучше всего видно из разложения по путям, типа использованного в
доказательстве теоремы 6.1. Здесь у нас будет сумма по замкнутым путям,
начинающимся и оканчивающимся в точке х; для каждого пути имеется также
обратный, соответствующий противоположной ориентации; обращение пути
эквивалентно замене X на -X (это по существу теорема Фарри).
(d - решеточный градиент, d* = б; здесь использованы обозначения из
раздела 4, поскольку оператор А можно рассматривать как отображение
множества 0-цепей в множество
1-цепей).
Рис. 19.
(6.13)
Заметим, что
Fx (0) = 0,
F'x( 0) = 0.
(6.14)
В силу (6.14)
1
Fx(\)= J dX( 1 - Я) F'Hl).
(6.15)
О
Чтобы понять, что это значит, запишем опять
(еле)
(6.17)
где в символическои записи,
W=* i(d*A + A*d) - А*А
(6.18)
128 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Далее,
(6.19)
и
Непосредственная проверка показывает, что (6.20) не содержит расходящихся
членов. Соображения функционального анализа вместе с диамагнитным
неравенством (теорема 6.1) показывают, что 6CsgS,M ~ Fх (I) равномерно
(по е) ограничено в ?р-норме и представляет собой /-'-последовательность
Коши (при е->0). Теперь для установления справедливости теоремы остается
применить неравенство Гёльдера. ?
Важность сходимости определителей уже была выяснена нами при обсуждении
формализма Мэттьюза - Салама в разделе 5. Эта сходимость существенна
также при построении моделей Хиггса. Действительно, формально мера
есть нормированная гауссовская мера d\i(<j>) с ковариацией С а = (-Дл +
т2)~\ умноженная на множитель, пропорциональный
(На нашей решетке все эти предложения становятся уже, конечно,
корректными.) Физически в этом множителе содержится рождение виртуальных
пар калибровочным полем.
Итак, в этом пункте мы собираемся изучить бозонные и фермионные
