Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
непосредственно не включают в себя самодействие фермионов, можно привлечь
формализм Мэттьюза - Салама (см. выше), в котором используются
6. Сходимость к непрерывному пределу
123
лишь произведения функций Грина и определителей. Эти произведения легко
оценить (см. [15]). Мы вернемся к этому вопросу в пункте, посвященном
определителям.
Теперь обратимся к результату об аналитичности, упомянутому выше. Удобно
рассмотреть немного более широкий класс функций Грина, заменив Un(gxy) на
произвольное ограниченное отображение 1 + Л множества ребер в
пространство & (Гн). Соответствующие функции Грина мы обозначаем
С\ (.г, у) (6.5)
и используем норму
|| Л || = sup || Аху\\. (6.6)
<ху)
Справедлив следующий результат.
Лемма 6.2. Пусть А, В - ограниченные if (У и) -значные функции,
определенные на множестве ребер из Л f] eZ*, и уиЛ- характеристическая
(индикаторная) функция множества Л. Тогда хл(х)Са+\в(х, у)ха(у) -
вещественно-аналитическая функция от X со значениями в
((Л Л eZd)X(А П eZd); &(ГН)).
Она продолжается до функции, аналитической в полосе
и ее продолжение хл^д+хвхл удовлетворяет неравенству
!|%Л^М+ЯЗ%Л I2 ^ Ц^Л^Л+B'Re К ||2 ' fi'?)
Замечания. 1. Сам оператор С не аналитичен из-за норм, фигурирующих в
(6.3).
2. Нормы в (6.7) - это нормы Гильберта - Шмидта, т. е. /2-нормы
соответствующих ядер.
Доказательство. Эта лемма доказывается путем разложения %аСа+ьв%а в ряд
по степеням Im X. Сходимость в указанной полосе устанавливается
стандартными методами, описанными выше. Подробности см. в [28]. ?
Полезность этой леммы видна из следующего результата.
Следствие 6.3. Пусть Ле- функция, определенная на множестве ребер из
eZdf|A и принимающая значения в алгебре Ли группы G. Экспоненциальное
отображение индуцирует калиб-
124 4.II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
ровочиое поле {g(r) } : = ехр(Здесь мы придержи-
ваемся физической традиции и считаем, что элементы алгебры Ли
антиэрмитовы.) Пусть g(r) (Я) = ехр геЯЛ(r) (Я е R). Тогда %х Cg(x)'Xx
является вещественно-аналитической функцией от Я и продолжается до
функции С|'о), аналитической в области
а, |Л-||) + -й^/(", 1, ||Л-Г = 5< 1, (6.8)
где
/(е, Я, 1 Ле J) = ! ьп х t II II
X [4 (sh (| I Im Я | II Ле II ) У + е2 (Re Я)21| Ле ||2]'/2, (6.9)
и удовлетворяет неравенству
II Cg (и Цг ^ 1 XxCiXx ||2 (1 - |)-1. (6Л0)
Замечание. Заметим, что если lim ||Ле - Л|| = 0, то об-
f->0
ласть аналитичности, задаваемая формулами (6.8), (6.9), превращается при
е->0 в полосу
11^11|Л|| + -^^||Л|р = |< 1. (6.11)
Доказательство. Применим лемму, взяв Аху = ±(еЕЛ*У - 1l),
1 ieAs ( №КАг Л
В*У = 1Ге ху^е ху-У-
Тот факт, что В зависит от Я, не приводит ни к каким трудностям, так как
композиция голоморфных функций голоморфна. Для того чтобы получить
(6.10), мы используем, кроме того, диамагнитное неравенство из теоремы
6.1. ?
Прежде чем привести главный результат этого пункта, сделаем одно простое,
но чрезвычайно важное замечание и приведем одно определение.
Замечание. Существует естественное вложение Q* решё-точного пространства
/2 в непрерывное пространство L2 с помощью отождествления решёточных
функций с кусочно-постоянными функциями. Сопряженный оператор Qe,
отображающий L2 и /2, представляет собой оператор усреднения функций по
элементарным (гипер-) кубам. Оператор Q* является изометрией, a Qs -
частичной изометрией. Когда мы
6. Сходимость к непрерывному пределу
125
говорим о сходимости решёточных функций, мы всегда молчаливо
предполагаем, что используется это вложение.
Определение 6.4. Говорят, что семейство {g^,} решёточных калибровочных
полей сходится при е->0 к непрерывному калибровочному полю Лц, если
АЪ (х) = (UH (§1, x+tJ - l) (6.12)
сходится к Лц в L°°-HopMe (ёц - единичный вектор в +ц-на-правлении).
Типичным примером такой сходимости служит случай, когда решеточное
калибровочное поле получается путем интегрирования непрерывного
калибровочного поля. Справедлив следующий результат.
Теорема 6.5. Допустим, что решеточные поля {g\y} сходятся к полю Лд при
е-э-0. Тогда функции Грина %ACege%v сходятся к % аСа%а в LP (Л X Л). если
1 ^ р < cL/ (d - 2) для d - 2,3. Здесь С а - обозначает непрерывную
функцию Грина (-Ал+ + пг2) -1 (х, у).
Замечание. Этот результат, вероятно, верен также и в случае d > 3. Для
доказательства следовало бы обобщить лемму 6.2 на /^-случай p<d/(d - 2).
Это пока не сделано.
Доказательство. 1. Если р ^ 2, то /1р-сходимость есть следствие
/Асходимости. Если р ^ 2, то это также верно, в силу неравенства Гёльдера
и равномерной ограниченности |Cgltp ПРИ е->0. Последняя следует из
диамагнитной оценки, при условии что р < d/(d - 2).
2. Следствие 6.3 позволяет нам считать, что калибровочное поле Ае^(х)
произвольно мало. Чтобы показать это, используем рассуждения, аналогичные
применяемым при доказательстве теоремы Витали.
А именно, пусть задано произвольное б > 0. Можно найти Яо, такое что
ge(kо) будет настолько близким к 1, что || Л?| < б для всех е < 1 (см.
