Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Шрадеру и эвклидову инвариантность, равно как и другие аксиомы ОШ, для
абелевых моделей в размерности два. Эта схема была применена Чэллифуром и
Вейнгартеном [26] и Вейнгартеном [27] к массивной модели Швингера, где
она позволила построить соответствующую теорию, по крайней мере в
конечном объеме, а также Бриджесом, Фрёлихом и мною [28, 29] - к
двумерной модели Хиггса (модели Ландау - Гинзбурга). Последняя работа
будет главной темой следующих двух разделов; мы также сделаем ряд
замечаний о том, как работают наши методы для КЭДг. В разделе 6 мы
рассматриваем внешние поля, а раздел 7 посвящен устранению всех обрезаний
в полной теории и проверке аксиом.
6. СХОДИМОСТЬ к НЕПРЕРЫВНОМУ ПРЕДЕЛУ
ВО ВНЕШНИХ ИЛИ ОБРЕЗАННЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЯХ
Внешние калибровочные поля, связанные с моделью Р(ф) 2, изучались
Шрадером [30], а их аналог для модели фз - Поттхоффом [31]. Если
интересоваться только проблемой внешних полей, то их результаты вполне
удовлетворительны. Однако их нелегко распространить на полностью
квантованную теорию по следующим причинам:
1) в эти модели не включены члены, соответствующие рождению
виртуальных пар калибровочным полем (т. е. определители, которые мы
изучим ниже);
2) самодействие скалярного поля, которое в них используется, не
является полиномом от калибровочного поля.
В [26] изучается "грубая" модель КЭД2 с внешним калибровочным полем. Это
означает, что обрезание калибровочного поля снимается с самого начала.
Сделать так в случае бозонной материи было бы чрезвычайно трудно, и, как
мы увидим, это на самом деле и не нужно. Здесь мы будем следовать работе
[28], в которой в качестве первого шага используются внешние
калибровочные поля, непрерывные по Гёльдеру.
Мы докажем сходимость величин трех типов: ковариант-ных функций Грина,
определителей и средних значений при фиксированном внешнем поле. В
заключение будут рассмотрены квантованные калибровочные поля с
обрезанием.
5, Сходимость к непрерывному пределу
121
а. Сходимость бозонных функций Грина [28]
В значительной мере непрерывный предел может быть сведен к пределу
фейнмановских диаграмм. Поэтому важно установить сходимость эвклидовых
пропагаторов (функций Грина). Стратегия, которой мы будем следовать в
случае бозонной материи, состоит в сведении задачи к установлению
почленной сходимости рядов теории возмущений во внешнем калибровочном
поле. Это возможно благодаря наличию равномерной оценки для функций
Грина, обусловленной диамагнитным неравенством и достаточной
аналитичностью по константе связи.
Если задано калибровочное поле на sZd, то кова-
риантный лапласиан Д| определяется как оператор в пространстве
P(eZ"; Ун) (6.1)
или в зависимости от контекста в пространстве
/2(eZdГ)Л; Ун), (6.2)
где А - ограниченное открытое множество в Rd, а решетка eZd считается
вложенной в Rd. Пространства (6.1) и (6.2) состоят из квадратично-
суммируемых отображений решетки в хиггсовское векторное пространство Ун-
Лапласиан Д^ определяется с помощью квадратичной формы
- (Ф, = III "Ж - UH 0?хУ) Ф (у) f (6.3)
<ху)
(где ф - поле Хиггса с компактным носителем) и расширения по Фридрихсу
(см. [33]).
Функция Грина-это ядро оператора (- , т. е.
функция
С\ (х, у) = (- Aeg + m ) 1 (х, у), (6.4)
принимающая значения в пространстве 3?(Ун) линейных операторов в Ун-
Прежде всего мы отметим следующее простое диамагнитное неравенство ([32],
[271-301]2>):
Теорема 6.1. Пусть ср &Ун- Тогда
| (ф, Cg (х, у) ф) | < (ф, С* (х, у) ф).
15 См. раздел 2.-Прим. ред.
2) Индексом I помечены работы из списка литературы к части I. Прим. ред.
122 4.11. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Доказательство. Это почти тривиально. Из (6.3), (6.4) следует, что
- Ag ~|~ til' 2d -j" til~ - Ag,
где As "связывает ближайших соседей", а именно:
. Л_J ^н{ёху), если A% // - ближайшие соседи,
& У) 1 rv
8 (.и в остальных случаях.
Ясно, что ||Лг|| ^ 2d. Таким образом,
(-Al + m2)~1 = (2d + m2yl(\ -
п=О
где ряд сходится по операторной норме.
Далее, А^(х, у) представляет собой сумму по путям длины еп, идущим из
точки х в точку у, каждый член которой является произведением унитарных
операторов в (параллельных переносов из х в у). Следовательно,
| (ф, Ang (х, у) ф) | = (ф, А\ (х, у) ф),
откуда и вытекает утверждение теоремы. ?
Замечание. Аналогичное предложение для фермионов неверно (из-за их
парамагнитности). Действительно, допустим, что оно верно. Тогда в
обозначениях, введенных после формулы (6.24), величина
D^ + RAS + m ** + ** + "
log aet----------------- Тг log -------------
д + Ro + tn д Ro + m
т
" - i!rn \ dt Тг [(-Ь^е + RAt -f- tn -f- -(d8 -j- R0+m-\-t) ]
была бы ^0. Однако по теореме 2.3 эта величина ^0. Поэтому она равнялась
бы нулю, что, вообще говоря, не так. Это замечание показывает, что
"диамагнитное" неравенство (теорема 2.3) для фермионов на самом деле
является выражением парамагнетизма.
Таким образом, для доказательства сходимости фермион-ных функций Грина
нужно искать другой метод. Поскольку обычные фермионные модели
