Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зайлер Э. -> "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой" -> 40

Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.

Зайлер Э. Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой — М.: Мир, 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnieteoriisvyazi1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 76 >> Следующая

где g е Со° (R2). Тогда непосредственно видно, что
detren (1 + еК (/lg)) е Ll (dm{>. м.),
и
d\x{' е == -i- detren (1 + еК (Ag)) dm\. м.
Lt, г
снова является гауссовской мерой с ковариацией
D№(k),
которая сходится в слабом смысле (в смысле сходимости моментов и
характеристической функции) к мере d\i с ковариацией
Dllv^(k2+^-)~'( (5.18)
при t -у-0, g-*-1.
Если мы внимательно посмотрим на формулу (5.18), то увидим, что в ней
"прячется" свободное скалярное поле ф с массой е/д/я (как каждый,
конечно, знает). Чтобы лучше понять его роль, рассмотрим ток определенный
внешним векторным потенциалом ^(R*) (пространство Шварца
пробных функций) с д^а-ц - 0:
(eiel\L (V) = lim -- f dmy. м. detr0n (1 eK. (gA -f- a)) t-*-o t,g i g-"1
= ^ йц exp ( !| a ||2 ^ A (a))
иехр[--|г(М-А + т) f)}'
где f = ецудцйц. Таким образом, ведет себя как гауссовское случайное
поле, определенное на
^ = + (6.19)
с произвольной постоянной 0.
С другой стороны, F = есть гауссовское случай-
ное поле с ковариацией
С (k) = -= i - -t- (k2 + -?-) (6.20)
k -f- --Л
Следовательно, чисто символически
F = со - i - е,- ф, (6.21)
V я
118 Ч. //. Непрерывные калибровочные квантовые теории /.
где со - белый шум (гауссовское обобщенное случайное поле
(5.21) просто в том, что она выражает соотношение между ковариациями F,
со и ф. Ее нельзя, конечно, понимать буквально, потому что все три
случайных поля принимают вещественные значения.
Если попытаться интерпретировать F и совместно как случайные поля, то мы
сталкиваемся с небольшим сюрпризом: это невозможно, так как двухточечная
функция (i^F) оказывается мнимой!
Чтобы увидеть это, вычислим, как и прежде,
Так как F, ведут себя в смысле "алгебраической" структуры как гауссовские
случайные поля, то ковариации должны были бы иметь вид
Отметим, что вся эта информация уже "зашифрована" в (5.19) и (5.21).
Если мы введем аксиальный ток
это - хорошо известное соотношение аксиальной аномалии
с ковариацией (со (f) со (g)} - ^ f (х) g (х) dx2). Смысл формулы
(e;eW+iF(fl>)
= jj dn ехр [- 1| а ||2 - ~ А (а) + iF (Л)]
</1*W/v(y)) = i(fillv + A"Vv)(-A + ^)~I(^ У)> (5.23а)
(/V (*) F (У)) = ~ (- А + 4) (*> У)> (5.23Ь)
(/'(х),Р(г/)) = (-А(-Д + 4-)_1)(х' ^ (5-23с^
(5.23с)
/° = - 8 / . J/Л nvJv>
то получим в качестве следствия
(5.24)
(5.25)
(см. [53]).
Другое следствие состоит в том, что
d^F /sSjxv/v == <?дСо;
(5.26)
5, Методы построения непрерывных теорий
119
это равенство следует рассматривать как квантовый вариант неоднородного
уравнения Максвелла. В правой части (5.26) стоит лишь "контактный член",
который не фигурирует в функциях Вайтмана; появление i станет понятным,
если мы вспомним, что F = iE, где Е - физическое электрическое поле.
Так как уравнения (5.25) и (5.26) уже содержат i и так как аналогичные
уравнения должны выполняться в любой калибровочной теории с фермионами
(например, КЭД4 и КХД4), надо ожидать, что такие модели никогда нельзя
будет полностью описать в терминах случайных полей: формально в них
присутствуют комплексные меры (я не хочу вдаваться в обсуждение того,
могут ли они быть настоящими мерами). На языке конструктивной квантовой
теории поля это означает: нельзя надеяться на то, что в калибровочных
теориях с фермионами имеет место положительность по Нельсону - Симанзику.
0-состояния можно определить, выбрав некоторое значение в (5.19) или, что
эквивалентно, действуя по рецепту, указанному в разделе 4, а именно
включив множитель
10 $ ец Wd *0 $F
е Л =е л
в меру и устремив Л к R2.
Заметим, что не существует симметрии, соответствующей преобразованию ф-
^ф-^-Q, которая была бы аксиальной U(I) -симметрией. Традиционная
периодичность по 0 основана на том факте, что обычно рассматривают
периодические по ф функции, порожденные полями модели Швингера (такие как
ехр{1ф!л/'4л), соответственно в схеме бозони-
зации).
Я не хочу слишком затягивать это обсуждение достаточно простой модели
(хотя "модель Швингера неисчерпаема", ср. [25]); то, что я здесь
обрисовал, имеет единственной целью убедить читателя, что большинство
хорошо известных результатов можно получить без погружения в какой-либо
"потусторонний мир".
Последняя стратегия, которую мы обсудим, - это комбинированная стратегия,
в которой приходится по-разному действовать с полями материи и с
калибровочными полями. Вначале поля материи находятся на решетке и их
взаимодействие с непрерывным калибровочным полем обладает некоторыми
свойствами регулярности, соответствующими обрезанной мере Янга - Миллса
(мы умеем достаточно хорошо это делать только в абелевом случае). Затем
мы переходим к непрерыв-
120 V. II. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
ному пределу для полей материи поточечно в калибровочных полях (т. е. с
калибровочными полями мы обращаемся как с внешними полями). В заключение
надлежит избавиться от обрезания калибровочного поля.
Эта процедура выглядит неуклюжей, но покуда оказывается самой гибкой. В
частности, она позволяет доказать положительность по Остервальдеру -
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed