Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Миллса, так как они зависят лишь от одного голого параметра go- Удобно и
принято брать в качестве соответствующей физической величины "натяжение
струны"
а* = - lim (5.3)
л (с* л оо е л
где А (С)-площадь, измеренная в единицах решетки.
8. Методы построения непрерывных теорий 109
ат зависит от s очевидным образом:
бт = -р-ат. (5.3')
где А (С) зависит только от go, но не от е- Уравнение (5.2)
принимает вид
0 = -2 ",-РЫ^, (5.4)
где (3 = - e(dgo/dz)-решеточная функция Кэллена-Си-
манзика, рассматриваемая как функция от go.
Наши надежды состоят в том, что скейлинг-пределы средних значений
разумных функций полей
1) существуют (конечно, для этого требуется, чтобы скей-линг-
преобразование некоторым образом действовало на полях) ;
2) не зависят от выбора фиксируемых физических параметров (внутри
некоторого разумного класса);
3) являются эвклидово-инвариантными и определяют модель релятивистской
квантовой теории поля.
Третий пункт можно проверить, например, при помощи аксиом Остервальдера -
Шрадера [4] для средних значений (локальных) калибровочно-инвариантных
полей или при помощи предположений, сформулированных в разделе 8, для
нелокальных калибровочно-инвариантных объектов.
Предостережение. Второй пункт не всегда выполняется, как было показано
для чистой решеточной U(\)-калибровочной теории в размерности три в
красивой работе Гёпферта и Макка [72].
Посмотрим, как эти идеи работают в тривиальном случае двумерной чистой
теории Янга - Миллса. Для получения простых формул (без функций Бесселя)
воспользуемся формой Виллэна (1.8). Используя теорему Петера - Вейля [5],
непосредственным вычислением получаем
<^(С)> = в~твоС*Л(С). м
(Каждое ребро {ху} принадлежит самое большее двум пла-кетам, так что для
интегрирования по gxy требуется, чтобы два соседних плакета были
носителями одного и того же неприводимого представления ст, если <ху> ф.
С. Ясно, что для свободных граничных условий <7=1 вне петли и о -г внутри
петли; для других граничных условий в термодинамическом пределе также
выживают только эти представления.)
Таким образом, мы имеем
(5.6)
(6.7)
и мы получим скейлинг-предел, потребовав, чтобы
go(e) = eg0.
Это соответствует равенству
Р (go) = - go-
(5.9)
(5.8)
Равенства (5.8) и (5.9) выражают тривиальную "асимптотическую свободу"
этой суперперенормируемой модели.
Легко выписать среднее значение произвдения любого числа непересекающихся
петель Вильсона (скейлинг-преобразо-вание действует на петлевые
наблюдаемые, просто сохраняя неизменным их размер в физических единицах):
и даже для перекрывающихся петель Вильсона не возникает проблем, за
исключением некоторых манипуляций с коэффициентами Клебша-'Гордона (см.
[6]). Ясно, что выражение (5.10) звклидово-инвариантно; конечно, в этом
случае аксиомы Остервальдера - Шрадера не могут быть проверены, так как
здесь мы имеем средние значения полей не в точках, а на петлях. В
последнем разделе я рассмотрю одну модификацию аксиом Остервальдера -
Шрадера, пригодную в такой ситуации.
Вернемся на момент к (5.4). Обычно предполагают, что поведение в главном
порядке (первые два ненулевых коэффициента в разложении Тэйлора) функции
(3 универсально, т. е. не зависит от определения шкалы и параметра
обрезания- При таком предположении можно считать, что поведение функции р
описывается следующей формулой, полученной при знаменитом вычислении
"асимптотической свободы" [7] в размерности 4 в непрерывном случае с
помощью стандартной теории возмущений:
Здесь Со - постоянная, пропорциональная значению квадратичного оператора
Казимира группы G в присоединенном представлении. Ее точное значение
определяется сравнением нормировок в (1.6) и (1.5) (см. [8]).
Р (go) = - со§1 + 0 (?о5)-
(5.11)
5. Методы построения непрерывных теорий
111
Подстановка этого выражения в (5.4) позволяет предсказать характер
слабого взаимодействия для натяжения струны:
Поистнне замечательно, что Кройц [8] в своей знаменитой работе по
исследованию методом Монте-Карло решёточных теорий Янга - Миллса
действительно обнаружил совместимость этой асимптотики с правильной
постоянной са-Этот факт рассматривается как один из сильнейших доводов в
защиту разумности решеточной аппроксимации и обоснованности общей веры в
то, что КХД удерживает кварки (однако работа [73] наводит, кажется, на
более скептические размышления).
Проведённые рассмотрения показывают, как естественно входят идеи ренорм-
группы в исследование непрерывного предела. Балабан [9] аннонсировал
результат, который, по-видимому, поведет к значительному продвижению
вперед на пути к построению непрерывного предела трехмерных моделей и в
котором идеи ренорм-группы используются даже еще более существенным
образом, навеянным доказательством устойчивости </>4-модели в трехмерном
случае, принадлежащим Галлавотти и др. [10]. Результат об устойчивости,
ан-нонсированный Балабаном,таков:
где С - постоянная, не зависящая от шага решётки е- Метод Балабана
