Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
основан на использовании последовательных итераций "блок-спинового"
преобразования, при которых возникают всё более и более грубые решёточные
системы со всё •более и более сильным взаимодействием; это
асимптотическая свобода, наблюдаемая в обратном направлении. Можно начать
эти итерации, переходя ко всё более и более мелким решёткам со всё более
и более слабым взаимодействием, так что после достаточно большого числа
итераций по существу возникнет теория, которая рассматривалась вначале.
Так как в нашем распоряжении пока нет подробного изложения
анонсированного результата, мы ограничим обсуждение метода этими
замечаниями 'К
Замечание, добавленное при корректуре. Появился препринт [9], в котором
Балабан описывает, как его метод работает в случае несколько более
простой модели.
" См. Балабан 113*]. - Прим. ре?>
(5.12)
| log Za I ^ С | Л |,
112
V, //, Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Ь. Прямые непрерывные конструкции
Иногда возможно применять более традиционные методы конструктивной
квантовой теории поля и в случае калибровочных моделей (о конструктивной
КТП см. [11, 12,69] '>). Например, этими методами уже некоторое время
назад [13] был построен вариант теории КЭД2 (массивная модель Швин-гера -
Тирринга) и было установлено, что эта модель является теорией поля в
смысле Вайтмана. Однако это было сделано при помощи трюка: так называемая
бозонизация переводит эту модель в обыкновенную скалярную теорию
самодействующего поля (массивную синус-гордон-модель), к которой уже
применимы стандартные конструктивные методы. При этом калибровочный
аспект оказался целиком запрятанным за этим трюком, и к тому же нет
никаких шансов на то, что этот трюк будет работать в размерностях,
больших двух.
Для КЭД2 (без члена Тирринга) можно применить более общий подход. Он
основан на формуле Мэттьюза - Салама [14], в которой предполагается, что
сначала построена функциональная мера "интегрированием" по фермионным
полям-Это можно сделать прямо в непрерывном пределе (с соблюдением
некоторых предосторожностей) и было успешно проделано для моделей Юкавы
[15, 16] (дополнительные ссылки на литературу см. в [42]). Здесь имеется
небольшая трудность, связанная с тем, что для перехода к непрерывному
пределу обычно необходимо сначала выполнить обрезание (вместо обрезания с
помощью решетки), а такие обрезания имеют досадную тенденцию - они
нарушают либо калибровочную инвариантность, либо положительность по
Остервальдеру- Шрадеру. Однако можно доказать, что достаточно установить
все желаемые свойства в пределе в отсутствие обрезания. Магнен и Сенеор
аннонсировали частичное построение КЭДз, основанное на такой стратегии
[17].
Формулы Мэттьюза - Салама можно получить с помощью формализма, описанного
в разделе 1, интегрированием по фермионам, следуя правилу, предложенному
Березиным, с последующим переходом к формальному непрерывному пределу.
Подробное обсуждение этой процедуры содержится в [74]. Удобно сделать
масштабное преобразование калибровочного поля А -> еА. Тогда средние по
калибровочным полям определяются с помощью формальной вероятностной меры
d\x{A) = -j det (l +-jp^-A^dm4.n..(A), (5.13)
где dm-i,m.(A) - (формальная) мера непрерывной теории Янга - Миллса.
Средние фермионных полей также выражаются
1> А также [12].-- Прим. ред.
5. Методы построения непрерывных теорий
113
через d\i\ типичный пример:
/ с
/ ie \ A dx'
\$(x)e * (у)
У
ie ^ A dx'
= J tr е х (ip + еА + М)~1 (у, х) dmY. м. (Л) (5.14)
(здесь след берется по дираковским и внутренним индексам).
В принципе формулы (5.13) и (5-14) столь же хороши в качестве
эвристической отправной точки, как и обычный эвклидов функциональный
интеграл; нужно только проверить в конце выполнение аксиом.
Положительность по Остерваль-деру - Шрадеру не совсем очевидна; ее можно
доказать, взяв "гамильтонову" производную от (5.14) и (5.13), как это
сделано (с исправимой ошибкой, см. [74]) в [18] для модели Юкавы, или же
вывести более аккуратным образом при помощи решеточных аппроксимаций; это
будет сделано в следующем разделе.
Формулы (5.13) и (5.14) указывают на следующее. Сначала нужно изучить
интегралы, соответствующие внешним полям, а уже затем беспокоиться об
интегрировании по калибровочным полям; в абелевом случае интегрировать
надо только по подходящей гауссовской мере (интегрирование может включать
в себя обрезания, фиксированную калибровку и т. п.)- Прежде всего обсудим
определитель в (5.13). Он имеет вид det(1 + еК(А)), где К(А) формальным
преобразованием подобия может быть приведено к виду
К(А) = (р2 + M2)~3/i(ip + М)А(р2 + М2)-'/\ (5.15)
Подразумевается, что К(А) действует на = L2(Rd)XУ?. Для достаточно
хорошего внешнего поля Аи оператор К(А) будет компактным в 3 q при q >
<70, где
Sfq = {C| С - компактный оператор на Тг(С*С)'?/2<оо}.
Лемма 5.1. Пусть f) Lp (Rd). Тогда К(А)^,7q при
р> 1
q > d.
Доказательство. Как доказано в [19], операторы вида C = f(x)g(W)
