Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует потенциалу
K(i) -0(-
который является удерживающим.
100
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Следует заметить, что в случае сильной связи предположение (4.57) можно
стандартным образом доказать при помощи кластерного разложения. Это было
сделано в [73].
В работе [16] Макк и Петкова изучают чистую решёточную теорию Янга -
Миллса с калибровочной группой SU(2) и вводят "безобидное" на вид условие
для всех 3-цепей (кубов). Здесь % - характер, фигурирующий в действии, а
именно характер фундаментального представления группы SU(2). Так как в
случае слабой связи gap оказывается близким к 11, то кажется, что в этом
случае условие (4.58) выполняется автоматически. В формальном непрерывном
пределе условие (4.58) пропадает. Однако, как показывают Макк и Петкова,
для d^3 в случае слабой связи условие (4.58) приводит к совершенно
особому поведению параметров беспорядка. Например, при d = 4 контур
т'Хоофта подчиняется закону площади. Это служит указанием на то, что
удержание может исчезнуть, а мы непосредственно покажем ниже, что в этой
модифицированной модели существует петля Вильсона, подчиняющаяся закону
периметра.
Из сказанного следует, что выбор решеточной аппроксимации является
существенным и недостаточно проверить формальный непрерывный предел (мы
уже видели, как важен выбор характера, фигурирующего в выражении для
действия). По-видимому, модифицированная модель имеет критическую точку
при ненулевой константе связи, а это вроде бы противоречит
асимптотической свободе.
Условие (4.58) имеет вид тождества Бьянки для Z2-nepe-менных sgn%(ggp)¦
Это неравенство препятствует тонким дефектам вида %{g*sp)<0 расширяться и
распространяться.
Условие (4.58) позволяет получить Е2-значную 2-цепь а>2, определенную
равенством
из Z2-3Ha4Hofl 1-цепи coi ("м (<."/>) - со*,,). Цепь (c)i определена с
точностью до /о2-калибровочного преобразования. Определив hxy равенством
(4.58)
(r)2 (^) == "ар == sSn X (ёар)>
(4.59)
gxy - Mx!/h,
'xyflxy,
(4.60)
можно записать действие Вильсона в виде
(4.61)
4. Некоторые дальнейшие результаты
101
Мы можем вычислять средние значения, суммируя по всем Z2-кaлибpoвoчным
полям wi и всем SU(2)-калибровочным полям {hxy}, подчиненным условию
%(h3P)^ 0 (4.62)
для всех плакетов Р.
Рассмотрим теперь
#(С)и.(c)с = П
<ьху; (4.63)
(ху) s С О
W(С) калибровочно инвариантно и, следовательно, опреде-
ляется набором {gXy}; W(С) представляет собой Zs-петлю
0 тт
Вильсона (в действительности W (С) = Ц sgn%(gap), где dS = С).
Лемма 4.21. В модели с условием (4.68) 22-петля Вильсона о
W(С) для достаточно малых g$ подчиняется закону периметра.
Доказательство. Имеем
(W (С))л = -^- Д \ dhxyQ{{hxy}) (r)сехрГ-^?ювРЗС(Авр)1,
Л <*" {"*"> 180 р J
(4.64)
где
0 {{h-ху
| 1, если 0 при всех Р,
I 0 в противном случае.
Если определить вероятностную меру d\x равенством
dp {{hxy}) = const • 0 {{hxy}) Z ({hxy}) П dhxy, (4.65)
<xy>
где
" T Z V* (ндр)
Z{{hxy})= Z e8° i* ' , (4.66)
{(r)xy}
то мы получим
(W(C))A^\d"({hxy})(Wc)h'A, (4.67)
где (Wc)h Л - среднее значение /2-петли Вильсона со случайными
константами связи (Лар) ^ 0.
102
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Из вогнутости логарифма следует, что
log (W (С))А > 5 d" ({Л,,}) log (Wc)h Л. (4.68)
Для последнего выражения можно провести обычное низкотемпературное
разложение, так же как в теореме 3.14. Активности дефектов не обязательно
малы для всех {hxy}, но их среднее мало при условии малости g%, и
сходимость легко устанавливается.
Замечания. 1. Этим не доказано, что обычная петля Виль-
о
сона (W(С)) = (%(hc)W(С)) подчиняется закону периметра. Весьма
правдоподобно, что большие дефекты будут всё еще достаточно
"разупорядочивать" систему, чтобы получался закон площади.
2. Макк и Петкова доказывают тем же методом дуальное утверждение
|<АЛС)> |<<Га<И|С>, аш > 0,
используя существенным образом шахматную оценку (теорема 2.2).
Теперь кратко поясним соотношение дуальности т'Хоофта [76] для
четырехмерной решеточной модели Янга - Миллса. Мы уже обсуждали вихревые
области (или области магнитного потока) и важность свободной энергии
магнитного потока. Вместо использованной раньше области с топологией
S2XS2 т'Хоофт просто рассматривает систему, "живущую" на четырехмерном
торе S1 X Sl X S1 X S1 = ^4 = Л. Магнитный поток вводится с помощью
сингулярного калибровочного преобразования следующим образом. Выделим из
Г4 два множителя sji, S'". Выберем элемент со^ из центра группы G и
плакет Р0 в X Sv- Трансформируем действие, умножив gdp на (Оу.у для
каждого плакета Р из 7'4, который отображается в Ро при канонической
проекции Г4 в S^X^v- Это можно сделать одновременно для всех пар (|i, v),
и, как легко видеть, получающаяся трансформированная статистическая сумма
Z \ ( {k'lAv} )
не зависит от выбора Р0. Мы скажем, что Z.\ ({^nv}) несет магнитный поток
со^ в направлении *(ц, v), дуальном к (|Х, v).
Электрический поток вводится дуальным образом. Пусть {Х?}ха2 - полное
