Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
1-цепи !П\ на у с б/?г: = 0. Используя это, можно переписать (4.23) в
более "калпбровочно-инварнантном" виде. Напомним, что
a, = *A~'dG2.
Поэтому
dax = *6Л_! dG2 = *G2 - VA"1 6G2 = *G2 - *dA~1]. (4.26)
Определяя "электромагнитное поле" F2, порожденное током j, как
F2~*d^lj, (4.27)
имеем da\ = *G2- *F2 и
-зЦ- l|m,f-2ni №, m-г [m,])
Z"(Y>= ? " (4.28)
rri\ Ф 0 на v бгц-0
(член, содержащий *G2, пропал, так как цепь *02 целочисленна) .
Решающий момент состоит в том, что можно определить поверхность S(-y)
таким образом, чтобы для нее выполнялось "изопериметрическое неравенство"
|S(v) Kt^IyI2 (4.29)
("решёточное значение я" равно 4). Отсюда получаем основную оценку:
Лемма 4.14. Существует постоянная К, такая что
I г* (Y) - *о (Y) I < КI *0 (Y) 11 Y I2 IIF3 Ill (v), (4.30)
где || F21|-. . = Т\ | F2 (P) I2 - "электромагнитная энергия
УУ> PffiS(Y)
поля / на S(y)".
Доказательство. Имеем
--iy Ilm.lP
12a, (Y) - Zo (Y) К 2я ? e S \(m2, *F2) I2. (4.31)
mi^O на у Ьгп\~ 0
Далее,
| (m2, TJPOImJf ||f2||*(v)
< sup I tn2 f || F21||( ,| S (y) | ^ || nti ||21| F2ll|I YI
4. Некоторые дальнейшие результаты
91
Используя неравенство
-Цг \\mxf -------Ц- f|miII2
¦~"2 ^ _ 32g2
Z Wm\fe S° Z е (4.32)
гп\ ф 0 на v nil Ф 0 на у
6mt*"0 6mi=0
для достаточно малых g*, получаем (4.30); можно взять
Й < *г4т ¦ К= Z Z 8'" ¦
m ф 0 I m ф о
Следствие 4Л5. Справедлива оценка
! 4 - гЛ < Е г0* | у 12 К || F21? (у) X (у). (4.33)
Доказательство. Это вытекает из леммы и неравенства I 2а; (у) I < г" (у).
?
Следующий шаг состоит в суммировании неравенства (4.33) по всем сдвигам
фиксированного Х0\
Лемма 4.16. Справедливо неравенство
I | *1 ~ | < ^ Z I Y I3 *0 (Y) I ^2II- (4-34)
X есть 1 У л
сдвиг Хг
Доказательство. Имеем
Z ll^ll^lYolll^ll2. ?
V есть сдвиг Y(
Теперь остается только заметить, что
" , /v-л eElVUo(V)
ZIyI3^o(v)<(ZIyI*o(y)) v
для любого е > 0, при соответствующем ае. Отсюда следует, что
Е |*?-z*\а (ZX/<||F2||;aeoZA.4e ^'Yl lY а№
1__
<ri|F2||ie 32g"
с некоторой постоянной К'.
Так как || Р2 Ид = (/, Д-1/')л> то мы доказали, что
1
logF(C)>- К'е 32г" 0, Д-'/)А, (4.35)
чем и завершается доказательство теоремы 4.7. ?
92
Ч. I. Решеточные калибровочные теории
Для полноты стоит отметить следующий результат относительно параметра
беспорядка в ?/(1)-калибровочной модели Виллэна:
Теорема 4.7/. Для любого
<А>(С)"ехР[-А'1/.)].
где /1 - целочисленная 1-цепь на дуальной решетке, определяемая формулой
1 при (ху) е С,
h 1..........
О в противном случае. Доказательство. По определению
<ху> -Я Р 1р
~^Т (^р-2п1р~вар)2
где GP = G2(P), a G2- целочисленная 2-цепь, удовлетворяющая условию dG2 =
*} 1. С помощью преобразования дуальности (*= фурье-преобразования)
получаем
(De(C)) = f ? е
2
1 V-1 (mi, в3
tni Ьт,2** О
Теперь воспользуемся корреляционным неравенством из леммы 4.11 (точнее,
чуть более общим неравенством) и заменим сумму по т2 на интеграл по
вещественнозначным 2-це-
ПЯМ (02-
?)0(С))>у йще
2
ЯО
-г- ll(o2!l2-"8 (со2, 02)
бсо2="0
= ехрГ-------^2"(02, 6А 1 dG2)
L 28о
Итак, мы имеем ситуацию, в которой обе петли подчиняются закону
периметра. По-видимому, это является характерным для "кулоновой" фазы.
Замечания. 1. Таким же образом можно доказать существование фазового
перехода Костерлица - Таулесса для модели двумерных плоских ротаторов.
Вместо петли Вильсона
4. Некоторые дальнейшие результаты
93
надо рассмотреть двухточечную функцию Sn(x-y) = (einV*-V).
В этом случае
Sa(x-y)>e^s2°Vcix~y)F(x-y), где Vq - решёточный кулонов потенциал,
, " '"0)+2л(' (m<r ао)
F{x-y) = TYue °
и, как и раньше,
g2nl(m0, й0) _ g-2ni(trii, *Еi).
здесь mi [mo] таково, что 6mi = mo, а Е\ - электрическое поле, отвечающее
заряду +п в точке х и заряду -п в точке у (т. е. определенное таким
образом, что оно стремится к нулю по мере удаления от пары зарядов).
Но если кластер расширять, то возникает следующая проблема. Аналог (4.29)
теперь не верен, так как длина струны не оценивается через число ее
граничных точек. Именно поэтому необходимы более тонкие рассмотрения
Фрёлиха и Спенсера [60], в которых используются не корреляционные
неравенства, исключающие кулоново взаимодействие, а электростатические
методы, в сочетании с некоторыми идеями метода ренорм-группы (для оценки
активности),
2. С помощью аналогичных методов можно доказать существование дальнего
порядка (спонтанного нарушения симметрии) для моделей плоских ротаторов в
случае d ^ 3 (упражнение!).
В определенном смысле этот метод сильнее, чем метод из [74], использующий
инфракрасные оценки. Он ясно выявляет доминирующую роль спиновых волн
(голдстоуновых мод) и не зависит от регулярности объема.
d. SU(ti) удерживает, если удерживает Zn
Результат такого типа, показывающий, что 5 U (п)-калибровочные теории
идут "в правильном направлении" от абелевых Zn-теорий, был впервые
получен Макком и Петковой [67] для специально подобранной модели, а
вскоре после этого - Фрёлихом [68] - для стандартной (вильсоновой) чистой
